实验 4 线性代数方法
本实验的目的是:利用MATLAB软件的可视化功能,形象表达线性代数方法的几个基本概念和常用方法的内涵.线性方程组及其解的几何含义,矩阵的特征根和特征向量的形象表示,矩阵作用的形象表达,实二次型标准化的形象表达.
4.1. 向量,直线和平面
4.1.0. 向量和直线
例1 向量是线性代数和几何最基本的概念之一.在几何中的向量一般是自由向量,而线性代数中的向量是定点向量.简单言之,自由向量一般有一个起点和一个终点,而定点向量的起点是固定的,即原点,终点不同就决定了不同的定点向量.直线是有一个向量的一切伸缩倍数生成的,也可以看成平面的交线.
4.1.0.0. 向量
在右图中,三个从原点出发的向量都是定点向量,而起点在A向量的终点,终点在B向量的终点的向量就是一个自由向量,与这个自由向量对应的唯一一个定点向量就是粗体大写字母C表示的起点在原点的向量.
利用向量这个概念,平面上的一条直线可以有如下的向量方程形式:
其中r是直线上任意一点对应的定点向量.具体实例是,平面直线:
的向量方程是:
它的直观表示的MATLAB代码是:(MATLAB文件名是ran4_1_0_0.m)
clear
x=-10:0.5:10;
y=(15-3*x)/2;
plot(x,y)
axis(axis);
%axis off
hold on
Hl_line=plot([0],[0]);
set(Hl_line,'LineWidth',6,'Color',[0 0 0]);
text(0,0,' Origin(0,0)' )
pause
Hl_line=plot([0 x(11)],[0 y(11)]);
set(Hl_line,'LineWidth',2,'Color',[0 0 0]);
Hl_line=plot([x(11)],[y(11)]);
set(Hl_line,'LineWidth',6,'Color',[0 0 0]);
text(-5,15,' Vecter(-5,15)' )
pause
Hl_line=plot([x(11) x(31)],[y(11) y(31)]);
set(Hl_line,'LineWidth',2,'Color',[1 0 0]);
Hl_line=plot([x(31)],[y(31)]);
set(Hl_line,'LineWidth',6,'Color',[0 0 0]);
text(5,0,' Vecter(5,0)' )
text(1,20,'平面中的向量','Fontsize',15,
'Color',[1 0 0])
text(1,15,'定点向量和自由向量',
'Fontsize',15,'Color',[1 0 0])
4.1.0.1. 向量与直线
利用定点向量和自由向量的概念可以和平面直线方程统一地表达3维空间直线的方程以及任意维数空间中的直线方程:
其中A,B和r都是三维或更高维数的三个向量,A和B是两个固定的向量,而r是直线上的任意向量.
例2 3维空间中的一条直线

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