高等代数(一,二)A卷答案及评分标准
填空题(共20分,每空2分)
1. 2. 14 3.6
4. 5. 6.
7. 8.0(n重)或单填 0 均算对
9.A有n个线性无关的特征向量 或 A的最小多项式可在域K上分解为不同的一次因式的乘积.
10.
二,计算题(共30分)
1.(8分)作非退化线性替换把二次型化成标准形.
解:配方得

(4分)
令,则 (5分).
所作的线性替换是:,
由于其系数矩阵的行列式,
因此这个线性替换是非退化的.(8分)
2.(10分)设,,用辗转相除法计算,并求多项式和使得
.
解:辗转相除得:,
,
.(4分)
故.(5分)
把上述辗转相除过程写出来就是


从而 ,.(10分)

3.(12分)设,是一数域,令,,其中
,,,,
分别求,的一个基和维数.
解:因为==,所以向量组的极大无关组就是的一个基,它所含向量个数就是的维数.(2分)对矩阵作初等行变换,化成简化行阶梯形得:
.(5分)
由此得是的一个基,;线性无关,=2;线性无关,=2.(8分)同时也知道,可由线性表出,且可从上述简化行阶梯形矩阵得出:
,(9分)
从而.
因为==1,所以
是的一个基.(12分)
三,综合题一(共18分,每小题6分)
令是由域上所有次数不超过的多项式构成的线性空间. (1) 证明,,是的一个基.
证明:考虑同构,把中的向量映到该向量在基1,,下的坐标.
故,,.(2分)

下一页