关于平面解析几何复习中的一点思考
天台中学 陶思亭
高三数学复习的目的,一方面是回顾已学过的数学知识,进一步巩固基础知识,另一方面,随着学生学习能力的不断提高,学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复,而是有对所学知识进一步理解的需求,如数学知识蕴涵的思想方法,数学知识之间本质联系等等,所以高三数学复习既要"温故",更要"知新",既能引起学生的兴趣,启发学生的思维,又能促使学生不断提出问题,有新的发现和创造,进而培养学生问题研究的能力.
一,把握解析几何的基本思想
"几何图形代数化与代数结果几何化"是解析几何的基本思想.
2004年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求学生写出解析几何的思想本质是什么,这道题目引起一些争议,但命题的意图是好的,指导思想是正确的,在复习过程中要强化这种思想.通过具体例子说明用代数的方法解决几何问题的优越性,以及用几何的方法解决代数问题的优越性.
二,构建解析几何知识的体系
解析几何复习时,需要理顺解析几何的知识体系:
(1)首先要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系,进而要理解曲线与方程的概念.图形问题代数化是解析几何的核心,然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质,这是解析几何的理论基础.深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的,那么遇见这些几何表述时就能熟练转化为代数形式来处理.
(2)通过对直线,圆,椭圆,双曲线,抛物线等具体曲线的研究,不仅要理解和掌握它们的一些基本性质和结论,更重要的是体会解析几何研究曲线性质的具体方法和思想.
(3)了解坐标系的平移,曲线的参数方程,极坐标系等等知识,体会解析几何解决问题的方法不是单一的,而是多种多样的.
三,剖析近年高考考点
考点一 点,直线,圆的位置关系问题
【内容解读】点与直线的位置关系有:点在直线上,直线外两种位置关系,点在直线外时,经常考查点到直线的距离问题;点与圆的位置关系有:点在圆内,圆上,圆外三种;直线与圆的位置关系有:直线与圆相离,相切,相交三种,经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置关系;圆与圆的位置关系有:两圆外离,外切,相交,内切,内含五种,一般用两点之间的距离公式求两圆心之间的距离,再与两圆的半径之和或差比较.
例1.(2009年江苏卷)在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
【解析】 本题主要考查直线与圆的方程,点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力,综合分析问题的能力.
答:(1) 或
(2) P在以C1C2的中垂线上,且与C1,C2等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点P坐标为或.
考点二 直线,圆的方程问题
【内容解读】直线方程的解析式有点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式五种形式,各有特点,根据具体问题,选择不同的解析式来求解.圆的方程有标准式,一般式两种;直线与圆的方程问题,经常与其它知识相结合,如直线与圆相切,直线与直线平行,垂直等问题.
例2. (2009年上海卷)过圆的圆心,作直线分别交x,y正半轴于点A,B,被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积满足则直线AB有( )
(A) 0条 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条
【答案】B
【解析】由已知,得:,第II,IV部分的面积是定值,所以,为定值,即 为定值,当直线AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线AB只有一条,故选B.
考点三 曲线(轨迹)方程的求法
【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点,常见的求轨迹方程的方法:
(1)单动点的轨迹问题——直接法+ 待定系数法;
(2)双动点的轨迹问题——代入法
(3)多动点的轨迹问题——参数法+ 交轨法.
例3. (2009年浙江卷)已知椭圆:的右顶点为,
过的焦点且垂直长轴的弦长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于点.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为,
(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,

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