2003年考研数学(一)真题评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) = .
【分析】 型未定式,化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.
【详解1】 =,
而,故原式=
【详解2】 因为 ,
所以 原式=
【评注】 本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.
(2) 曲面与平面平行的切平面的方程是.
【分析】 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.
【详解】 令 ,则
,, .
设切点坐标为,则切平面的法矢量为 ,其与已知平面平行,因此有
,
可解得 ,相应地有
故所求的切平面方程为
,即.【评注】 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和
《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.
(3) 设,则= 1 .
【分析】 将展开为余弦级数,其系数计算公式为.
【详解】 根据余弦级数的定义,有===1.
【评注】 本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第(6)小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.
(4)从的基到基的过渡矩阵为 .
【分析】 n维向量空间中,从基到基的过渡矩阵P满足
[]=[]P,因此过渡矩阵P为:P=[[.
【详解】根据定义,从的基到基的过渡矩阵为
P=[[.
=
【评注】 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】.
(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则.【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率,一般可转化为二重积分=进行计算.
【详解】 由题设,有=y1DO1x【评注】 本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D,再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第(5)小题.
(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值
【分析】 已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据,由确定临界值,进而确定相应的置信区间.
【详解】 由题设,,可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此,根据 ,有
,即 ,故的置信度为0.95的置信区间是 .
【评注】 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

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