《近世代数》习题答案(第二部分)
第八讲 群的概念
1.(1)是;
(2)是;
(3)否;
(4)是.
2.(1)否(结合律不满足);
(2)是;
(3)是;
(4)否(非空子集逆元不存在).
5.当且仅当为素数时,关于剩余类的乘法构成群.
6.提示:考虑到.
第九讲 子群与陪集
7.提示:可证:左陪集的所有元素的逆元素组成右陪集.
8.1阶元素有:;
2阶元素有:;
3阶元素有:;
4阶元素有:;
6阶元素有:;
8阶元素有:;
12阶元素有:;
24阶元素有:.
第十讲 循环群
5.提示:设的阶大于2,则,且与阶相同.
6.提示:利用上题结论.
7.{0},Z12,2Z12,3Z12,4Z12,6Z12
11.令::Z12Z12,,Z,则,,,是Z12的全部自同构映射.
第十一讲 置换群
1.,,
,.
2.(1)为偶置换,为奇置换;
(2)= (1 4 7 3)(2 6),= (1 3 5)(2 4 7 6);
(3)= (1 5 6 4).
3.(1)为奇置换,偶置换;
(2);.
5.的元素为:
(1), (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4),
(1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2),
(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3).
的元素为:
(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4),
(1 3)(2 4), (1 4)(2 3).
6.(1 2), (1 3), (2 3).
7.(1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2).
8. 2, 6, Q, 3, 7, 10, 9, 5, J, K, 4, A, 8.
第十二讲 正规子群与商群
4..
5..
第十三讲 群同态与群同态基本定理
1.(1)是,,;
(2)不是;
(3)是,,;
(4)是,,.
第十四讲 群的应用
1.,,;
,.
,,,
.
4.24
5.92种.
6.76种.
7.1674种.