数学建模简介
§1.1什么是数学模型与数学建模
简单地说:数学模型就是对实际问题的一种数学表述.具体一点说:数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构.更确切地说:数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构.数学结构可以是数学公式,算法,表格,图示等.数学建模就是建立数学模型,建立数学模型的过程就是数学建模的过程(见数学建模过程流程图).数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象,简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段.
§1.2美国大学生数学建模竞赛的由来
1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度的大学生数学模型竞赛(1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其缩写均为MCM).这并不是偶然的. 在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematial Competition,简称Putman(普特南)数学竞赛),这是由美国数学协会(MAA--即Mathematical Association of America的缩写)主持,于每年12月的第一个星期六分两试进行,每年一次.在国际上产生很大影响,现已成为国际性的大学生的一项著名赛事.该竞赛每年2月或3月进行.我国自1989年首次参加这一竞赛,历届均取得优异成绩.经过数年参加美国赛表明,中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的.为使这一赛事更广泛地展开,1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛(简称CMCM),该项赛事每年9月进行.
数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同,它来自实际问题或有明确的实际背景.它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力,整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析,模型的假设和建立,计算结果及讨论的论文.通过训练和比赛,同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高,而且在团结合作发挥集体力量攻关,以及撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼.
§1.3数学模型导言
§1.3.1模型概念
模型是把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理.
模型是人们十分熟悉的东西,例如:玩具,照片及展览会里的电站模型,火箭模型等实物模型;地图,电路图,分子结构图等经过一定抽象的符号模型;大型水箱中的舰艇模型,风洞中的飞机模型等物理模型.
§1.3.2什么是数学模型
每一个从客观世界中抽象出来的数学概念,数学分支都是客观世界中某种具体事物的数学模型.例如:自然数1就是具体的一只羊,一头牛等的数学模型;而直线就是光线,木棍等的数学模型.
即数学模型是对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.它或者能解释特定现象的现实状态,或者能预测对象的未来状态,或者能提供处理对象的最优决策或控制.
例 现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件,前者需要25件,后者需要30件.问如何裁剪,才能最省料
解:先设计几个裁剪方案
记 A---------40×40; B-----------50×20
方案一 方案二 方案三
显然,若只用其中一个方案,都不是最省料的方法.最佳方法应是三个方案的优化组合.设方案i使用原材料件(i=1,2,3).共用原材料f件.则根据题意,可用如下数学式子表示:

最优解为:
这是一个整数线性规划模型.
§1.3.3数学建模方法
一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种.
机理分析是根据对客观事物特征的认识,找出反应内部机理的数量规律,建立的数学模型常有明确的物理意义.
测试分析是将研究对象看作一个"黑箱"(意即内部机理看不清楚),通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合得最好的模型.
§1.3.4数学建模的一般步骤
建模是一种十分复杂的创造性劳动,现实世界中的事物形形色色,五花八门,不可能用一些条条框框规定出各种模型具体如何建立,这里只是大致归纳一下建模的一般步骤和原则:

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