第三章 函 数 极 限
§1 函数极限概念
一 趋于时函数的极限
设函数定义在上,类似于数列情形,我们研究当自变量趋于时,对应的函数值能否无限地接近于某个定数.例如,对于函数
x=5:50; y=1./x;plot(x,y,'r'), axis([5,55,0,0.22])


从图象上可见,当无限增大时,函数值无限地接近于0;
而对于函数,则当趋于时函数值无限地接近于.我们称这两个函数当时有极限.
clf, x=0:50; y=atan(x); plot(x,y,'r'), axis([0,55,0,1.7])
一般地,当趋于时函数极限的精确定义如下:
定义1 设定义在上的函数,为定数.若对任给的,存在正
数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极
限,记作 或 .
在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似,表明充分大的程度;但这里所考虑的是比大的所有实数,而不仅仅是正整数.因此,当趋于时函数以为极限意味着:的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值.
定义1的几何意义如下图所示,
对任给的,在坐标平面上平行于轴的两条直线 与,围成以直线为中心线,宽为的带形区域;定义中的"当时有"表示:在直线的右方,曲线全部落在这个带形区域之内.如果正数给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么直线一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数,使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.
现设为定义在或上的函数,当或时,若函数值能无限地接近某定数,则称当或时以为极限,分别记作
或
或
这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的""分别改为""或""即可.
显然,若为定义在上的函数,则
(1)
证明 .
证 任给,取 ,则
当 时有
所以 .
例2 证明:1); 2)
证 任给,由于
(2)
等价于,而此不等式的左半部分对任何都成立,所以只要考察其右半部分的变化范围.为此,先限制,则有
故对任给的正数 ,只须取,则当时便有(2)式成立.这就证明了1).类似地可证2).
注 由结论(1)可知,当时不存在极限.
二 趋于时函数的极限
设为定义在某个空心邻域内的函数.现在讨论当趋于时,对应的函数值能否趋于某个定数.这类函数极限的精确定义如下:
定义2(函数极限的定义)设函数在某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作 或 .
下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限.请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的.
例3 设,证明 .
证 由于当时,,
故对给定的,只要取,则当时有.这就证明了.
证明:1); 2)

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