第四章 三角函数教材分析
三角函数是中学数学的重要内容之一,它的基础主要是几何中的相似形和圆,研究方法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了,本章所介绍的知识,既是解决生产实际问题的工具,又是学习中学后继内容和高等数学的基础
本章教学时间约用36课时,具体分配如下(仅供参考):
4.1角的概念的推广 约2课时
4.2弧度制 约2课时
4.3任意角的三角函数 约2课时
4.4同角三角函数的基本关系式 约2课时
4.5正弦,余弦的诱导公式 约3课时
4.6两角和与差的正弦,余弦,正切 约7课时
4.7二倍角的正弦,余弦,正切 约3课时
4.8正弦函数,余弦函数的图象和性质 约4课时
4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约3课时
4.10正切函数的图象和性质 约2课时
4.11已知三角函数值求角 约2课时
小结与复习 约4课时
一, 内容与要求
(一)本章主要内容是任意角的概念,弧度制,任意角的三角函数,同角三角函数间的关系,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,以及三角函数的图象和性质,已知三角函数值求角等
(二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积.这个问题可以用二次函数来解决,但如果设角度为自变量,就会得到三角函数式,学生尚未学过求它的最大值
第一大节是"任意角的三角函数"教科书首先推广了角的概念,介绍了弧度制,接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义),然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦,余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中,都安排了许多实例以及知识的应用
第二大节是"两角和与差的三角函数"教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性,不予严格证明),用距离公式推出余弦的和角公式,然后顺次推出(尽量用启发式)其他公式,同时安排了这些公式的简单应用和实际应用,包括解决引言中的实际问题,引出半角公式,和差化积及积化和差公式让学生有所了解
第三大节是"三角函数的图象和性质"教科书先利用正弦线画出函数 ,x∈[0,]的图象,并根据"终边相同的角有相同的三角函数值",把这一图象向左,右平行移动,得到正弦曲线;在此基础上,利用诱导公式,把正弦曲线向左平行移动个单位长度,得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点,研究了正弦,余弦函数的性质,然后又研究了正弦函数的简图的画法,简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角,并引进了arcsinx,arccosx,arctanx等记号,以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案
(三)本章的教学要求是:
1.使学生理解任意角的概念,弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算
2.使学生掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义,了解余切,正割,余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦,余弦的诱导公式
3.使学生掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的正弦,余弦,正切公式通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力
4.使学生能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明(包括引出积化和差,和差化积,半角公式,但不要求记忆)
5. 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象;理解周期函数与最小正周期的意义,并通过它们的图象理解这正弦函数,余弦函数,正切函数的性质;会用"五点法"画正弦函数,余弦函数和函数的简图,理解A,,φ的物理意义
6.使学生会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示
二, 考点要求
1.理解弧度的定义,并能正确地进行弧度和角度的换算
2.掌握任意角的三角函数的定义,三角函数的符号,同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,会求的周期,或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式
3.了解正弦,余弦,正切,余切函数的图象的画法,会用"五点法"画正弦,余弦函数和函数的简图,并能解决正弦,曲线有关的实际问题
4.能推导并掌握两角和,两角差,二倍角与半角的正弦,余弦,正切公式

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