含数学分析和高等代数两门课
数 学 分 析(I)
(1)集合与函数
实数概述,绝对值不等式,区间与邻域,有界集,确界原理,函数概念.
(2)数列极限
数列.数列极限的定义.收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,不等式性质,迫敛性,有理运算.子列.数列极限存在的条件;单调有限定理,柯西收敛原理.,STOLZ定理.
(3)函数极限
函数极限概念(.瞬时函数的极限.定义,定义)函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性质,迫敛性,有理运算.
函数极限存在的条件:归结原则,柯西准则.
两个重要极限:
无穷小量与无穷大量及其阶的比较.
(4)函数的连续性
函数在一点的连续性.单侧连续性.间断点及其分类.在区间上连续的函数.连续函数的局部性质:有界性,保号性,连续函数的有理运算,复合函数的连续性.闭区间上连续函数的性质:有界性,取得最大最小值性,介值性,一致连续性.初等函数的连续性.
(5)极限与连续性(续)
实数完备性的基本定理:区间套定理,数列的柯西收敛准则,聚点原理,致密性定理,有限覆盖定理,实数完备性基本定理的等价性.闭区间上连续函数性质的说明.实数系.压缩映射原理.
(6)导数与微分
引入问题(切线问题与瞬时速度问题).导数的定义.单侧导数.导函数.导数的几何意义.和,积,商的导数.反函数的导数.复合函数的导数.初等函数的导数.
微分概念.微分的几何意义.微分的运算法则.一阶微分形式的不变性.微分在近似计算中的应用.高阶导数与高阶微分.由参量方程所表示的曲线的斜率.
(7)中值定理与导数的应用
费马(Fermat)定理.罗尔(Rolle)中值定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.柯西中值定理.泰勒(Taylor)定理 (Taylor公式及其拉格朗日型余项,皮亚诺余项),泰勒公式的某些应用.
函数的单调性的判别法.极值.最大值与最小值.函数的凸性.拐点.渐近点.函数图象的讨论.
数 学 分 析(II)
(8)不定积分
原函数与不定积分概念.基本积分表.线性运算法则.换元积分法.分部积分法.有理函数的积分.三角函数有理式的积分.若干初等可积函数.
(9)定积分
引入问题(曲边梯形面积与变力作功).定积分定义.定积分的几何意义.可积的必要条件.上下和及其性质.可积主要条件.几乎处处连续函数.可积函数类:在闭区间上连续函数,在闭区间上只有有限个间断点的有界函数,单调有界函数.
定积分性质:线性运算法则,区间可加性,不等式性质,绝对可积性,积分中值定理,第二积分中值定理.微积分基本定理.牛顿—莱布尼兹公式.换元积分法.分部积分法.近似求积.用活动上限定积分定义对数函数,并导出对数函数和指数函数的基本性质.
(10)定积分的应用
简单平面图形面积.曲线的弧长与弧微分.曲率.已知截面面积函数的立体体积.旋转体体积
与侧面积.平均值.物理应用(压力,功,静力矩与重心等).
(11)反常积分
无穷限反常积分的概念.柯西准则.线性运算法则.绝对收敛.反常积分与数项级数的关系.无穷限反常积分收敛性判别法.
无界函数反常积分概念.两种反常积分的联系.无界函数反常积分收敛性的判别法.
(12)数项级数
级数收敛与和的定义.柯西准则.收敛级数的基本性质.正项级数.比较原则.比式判别法与根式判别法.拉贝判别法.一般项级数的绝对收敛与条件收敛.交错级数.莱布尼兹判别法.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法.阿贝尔求和.绝对收敛级数的性质(重排定理.级数的乘积).Mertens定理.
(13)函数列与函数项级数
函数列与函数列级数的收敛与一致收敛的概念.一致收敛的柯西准则.函数项级数的维尔
斯特拉斯优级数判别法.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法.函数列极限函数与函数项级
数的和函数的连续性.逐项积分与逐项微分.
(14)幂级数
阿贝尔第一定理.收敛半径与收敛区间.一致收敛性.和函数的连续性.逐项积分与逐项微分.幂级数的四则运算.泰勒级数.泰勒展开的条件.初等函数的泰勒展开.近似计算.用多项式逼近连续函数(可放在下章中讲).

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