初二数学同步辅导教材(第13讲)
【教学进度】
§ 3.12 (几何课本P65 - P72)
【教学内容】
等腰三角形的性质
【重点,难点剖析】
1.主要知识点
(1)等腰三角形的两底角相等(简写为等边对等角或底角相等)
(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(简称"三线合一")
(3)等边三角形的各角都相等,并且每一角都等于600
2.重点剖析
(1)等腰三角形的三线合一性,它可以分解成三条性质,其中每一条都是由两个已知条件和两个结论组成:
①
②
③
(2)在等腰三角形中的三线合一,是证明线段相等,角相等及两直线垂直的重要依据.常常根据具体情况,适当增添辅助线,在增添辅助线时,不能对辅助线要求过高,一般只能增添顶角的平分线,底边上的高,中线中的某一条.象作一边上的高并且要平分这一条边;作一边的中线并且垂直于这一条边;作一个角的平分线并且垂直平分对边,等等,这些都是不正确的.作图时也只能作顶角平分线,或者只能作底边上的高,或者只能作底边上的中线,然后再说明这条辅助线具有三线合一性.
【典型例题】
例1.已知,如图1ΔABC中,AB>AC,在AB上截取AE=AC,AD为∠BAC的平分线,EF‖BC, 求证:∠DEC=∠FEC
分析:题中有AE=AC,必然有等腰三角形AEC,AD是∠EAC的平分线,等腰三角形顶角的平分线,底边上的高与底边中线三线合一,AE⊥EC,O为EC中点.
证明:∵AE=AC,AD平分∠EAC(已知)
∴EO=CO,AD⊥EC(等腰三角形顶角的平分线又是底边上的中线,高线)
在RtΔDEO与RtΔDCO中



又∵EF‖BC(已知)
∴∠FEC=∠2(两直线平行,内错角相等)
∴∠FEC=∠DEC
点评:"三线合一"是等腰三角形的一个重要性质,是证明中常用的线段,也常作为一条辅助添置在图中.
例2.求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.
分析:此题是文字题,应把文字题"翻译"成"已知","求证"等符号语言.
(1)要证明(如图2),可以作∠A的平分线AE.证明∠DBC=∠CAE,根据等腰三角形的三线合一性,AE⊥BC,得∠CAE=900-∠C,再从BD⊥AC中易得到∠DBC=900-∠C
分析(2):要证明也可以证明2∠DBC=∠A,因此作∠DBF=∠DBC,然后证明∠FBC=∠A,由于可以证得BF=BC,∴∠FBC=1800-2∠C,再由AB=AC,∠B=∠C,得∠A=1800-2∠C.
分析(3):在RtΔDBC中,∠DBC=900-∠C,故应证明,即证明∠A=1800-2∠C,由于∠A=1800-(∠B+∠C),故证明∠B=∠C即可,由AB=AC可知∠B=∠C
已知:如图2,ΔABC中,AB=AC,BD⊥AC
求证:
证法1:作BAC的平分线交BC于E,则
∵AB=AC(已知)
∴(三线合一)
即∠EAC+∠C=900
又∵BD⊥AC

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