——课本"以球为宇"的重大错误应及时纠正
黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
[摘要]几百年解析几何一直认定书上x轴R包含一切正数.然而如正方形对角线的长揭示有无理数那样"a b充分短才能使a≈b"揭示:各已知正数x均有无穷多≈x的用而不知的"更无理"数x+△x>x(△x<一切已知正数),推翻了百年"R完备"定理;已知数全体远远不够用,因其仅为数宇宙中的一颗星球!由"一一配对"常识证明客观存在无穷数.几百年"△f≈df+d2f/2!" 揭示R有太小正数x小至其对应数xn≥2不∈R.
[关键词]无穷大自然数及其倒数;无穷小正数;几何与近似计算常识;扩充数域;推翻"R完备"定理;数学危机
未识(认识)无理数时(后)数学(又)一直以为已知数全体已够用.其实都是重大误解.
1.几何与近似计算常识凸显有正数0)的充要条件是距离ρ=|y-x|>0与|x|>0相比贴近于0以致于可视其为0而忽略.误差能否忽略的结论来自于正确的数量分析而非人为的主观定义.本文所说的y≈x是指两者几乎重合相等没有差别.说都>0的x与y 能趋于重合相等没有距离显然就是说y/x能→1.
线段L:y1 yi(i=2,3,…)的两动端点的积y1×yi>0时,能否有y1≈yi完全反映了L的长ρ是充分小还是充分大.ρ=|y1-yi|>0充分小时就必有y1≈yi及y1/yi≈1且ρ越小,近似的程度就越高;y1始终都不≈yi的原因只能是L相比下总不可充分短而总太长即ρ所取之值全是不可忽略的充分大的数,尽管ρ可→0.只有当质点位移前后的位置充分靠近才能≈没位移.(若连此一目了然的几何常识也不能从数,数量关系的高度上来阐明,那就如连正方形对角线的长也不能定量阐明那样,充分表明已认识的数的全体还远远不够用,远远不能满足实际的需要.)凡违反此起码几何常识的"理论"必是重大错误.注:ρ=|△y1|>0有时即使总>"任意取定"的正数1/ε就已经充分逼近0了,而有时即使总0都小至使y1+△y1≈y1.
地球体积x+足球体积x/k≈x+0,因为x/k与x相比实在是太小了以致于可视其为0而忽略,而x与x/k相比实在是太大了从而不可略.
一变量所取各数相比下全是极大正数,能说其能取一切正数 小学生都明白凡可表为百亿个正数x/k的和的数100…0(x/k)相比下全都是"天文数字",凡可百亿倍于其子部的直线段相比下全都是极长线段.大小极悬殊的2个正数,大的与小的相比是距0极远的极大正数.
y2=x/100…0(百亿个0)与y1=x=100…0y2>>y2>0间的
距离ρ=ρ1=|y1-y2|≈y1=x>0且可→0
可取书上x轴R的一切正数(数学"证明"了R含一切正数).但为何y2始终都远不可≈y1(两者总大小极悬殊)使y1/y2≈1总远不成立 据上述极浅显几何常识唯一原因是ρ1≈y1=x>0且→0所取之值≈x>>y2>0相比下全是>>0从而远不可视其为0而忽略的"天文数字".这充分说明ρ1→0远不可进入数学一直未能察觉的ρ=0的某充分小的去心邻域A内!显然A的半径及A内数都是未知数.断定此x>0可取一切正数显然等价于断定其必能与0接近到可视其为0的程度,更绝不能有相比下总距0太远的数量关系,即断
定y2能变至≈x>0,y2/x能→1.微积分有史200年后才有的百年极限论误导人以为只要△y1→0就必能使 y1+△y1与
y1任意逼近趋于重合相等没有距离.例如"若对每一个x∈
B和任给ε>0,都有y∈A使ρ(x,y)<ε.这样,B的所
有元素都可用A的元素近似表示[1]." 即说y与x的距离ρ0被限制于总距0太远,更谈不上能距0任意近.度量不出此真相的量尺有重大缺陷,使人不能全面深刻地认识两无穷小之间的距离的大小.只识光年尺度是远远不能满足实际的需要的.同理,….
可见y2与y1非但远不可趋于重合相等没有差别,反而
还总大小极悬殊的近似计算常识否定了R已包含一切正数的百年权威定论([2]证明了"任何正数x都有对应数x/100…0"不真).
微积分无法解释x+x2≈一次项x0中"可
取(0,0.00…01)内一切数"的x→0与x2相比,为何不但总不能小至可视其为0而忽略的程度,反而还越变越大无穷变大 从而对近似计算只知结论不懂原理.认识下述的无穷数才能用数来定量表达此x→0相比下无穷变大的变化规律,从而真正弄懂近似常识.若正实变量x→0能任意逼近0取一切小正数,则其必可变至可忽略不计的程度,否则说明其不但不能任意逼近0,反而还被限制于相比下总距0极远!在精确度要求较高的近似计算中凡有正实变量不可忽略,必表明其相比下总距0极远使其变域U内各数相比下全都是非微不足道的极大正数;逻辑学常识表明必有(未知)正数