几何画板在数学教学中的优势分析
孙雪飞
摘 要:几何画板是一种适合中学数学教师和学生进行数学教与学的工具性软件.本文通过对几何画板在数学课堂教学中的应用案例分析,展现运用几何画板在促进数学教学的最优化,更新教学内容的呈现方式,开展数学实验等方面辅助数学教学所特有的优势.
关键词:数学教学;能力培养;过程优化;数学实验.
Geometry Drawing board in mathematics teaching
superiority analysis
SUN Xuefei
Abstract: Geometer's Sketchpad is a suitable secondary school mathematics teachers and students to the teaching and learning of mathematics software tools. Paper on The Geometer's Sketchpad Mathematics Teaching in the application of case studies, demonstrated using Geometer's Sketchpad in the promotion of Mathematics Teaching the optimization and updating the presentation of teaching content, in such areas of mathematics teaching geometry assisted by the unique advantage.
Key words: Mathematics teaching;ability to cultivate; process optimization; Experimental Mathematics.
CLC: G633.6.
多媒体计算机的出现,网络技术的运用,信息时代的来临,正在给教育带来深刻的变化.教育技术的更新同时也更新了教学手段,教学方法以及教学模式,也势必引起教学内容,教育思想,教学理论的变革.多媒体教学技术在教学内容呈现方面的直观性和趣味性,有着传统教学无法比拟的优点.在进行数学课堂教学时,发挥多媒体技术的辅助教学功能,制做多媒体课件已是现代教师所必须掌握的技能.
在数学教学中,几何画板充分展示了不可取代的应用优势.计算机可以帮助我们思维,几何画板就是一个观察数学现象的"望远镜".几何画板是一种适合中学数学教师和学生进行数学教与学的工具性软件,为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境.它以点,线,圆为基本元素,能显示或构造出较为复杂的图形,具有动态性,形象性,简洁性.它可以调动学生的积极参与,加深对数学概念的深层理解,积累丰富的数学经验,拓宽数学能力的培养途径,充分体现了现代教学的思想.教师能通过几何画板设置情境,启发学生观察,猜测,验证,概括,证明并应用,以便学生实现对知识的重新建构.
下面通过具体例题对几何画板在数学教学中的优势进行一些分析和研究.
一 运用几何画板促进数学教学的最优化
利用计算机进行模拟实验,可将抽象问题转化为让学生看得见,摸得着的动态图象.学生的最大困难是不理解几何图形的整个变化过程及变化趋势,而应用计算机进行模拟实验,就能把这一过程动态地演示出来.利用几何画板可让学生更深刻地理解,掌握数学概念与规律,构建合理,清晰的认知结构.
1 展示数形结合,发展学生空间想象能力
众所周知,数形结合是一种很重要的数学思想,数学家华罗庚说过:"数缺形时少直觉,形缺数时难入微"."数形结合"是学习数学的重要方法,用图形解释抽象的数学现象比较形象,直观.几何画板为数形结合提供了强有力的保证,从静态到动态,从特殊到一般,让学生逐步通过自己的发现去学习数学,从中深刻揭示概念的本质属性.
例1:二次函数是初中教学中的一个难点,尤其是图象和各系数的关系这一内容,学生理解起来有很大困难.可以利用几何画板画出二次函数的图象(如图1),再适时地改变各系数的值,让学生观察图象的变化,从而可以很轻松地掌握这一个规律并留下深刻的印象.
图1
2 利用几何画板课件探究数学逻辑关系,提高学生几何推理能力.
在几何学习中,学生要将图形间的关系用几何语言表达出来,往往是学生学习几何的最大障碍.主要原因是图形之间的结构关系和几何推理之间的相互关系,学生理解起来很困难.但是用几何画板可以为学生处理好这两者的关系创造条件,培养学生学习几何的兴趣,促进学生学习能力的发展.其实这也是研究性学习理论在几何教学中的运用.研究性学习要求学生不是单纯的接受式学习方式,而是为学生构建开放的学习环境,提供多渠道获取知识并将知识加以综合,应用于实践的机会,并形成积极的学习态度和良好的学习策略.它旨在发展学生的问题意识和创新精神.
例2 : 已知:如图2,在正方形ABCD中,DE=CF.
求证:(1)OE=OF (2)OE⊥OF
分析:① 思路:△ODE≌△OCF→OE=OF和 ∠DOE=∠COF→OE⊥OF
② 问题:学生在具体思考时,能否从正方形中分离出△ODE≌△OCF,能
否由∠DOE=∠COF推出OE⊥OF 其实很多学生是难以理解其逻辑和
推理关系的.
③ 用几何画板可以将图中阴影三角形分离出来让学生观察思考后,再
整合在一起,并给三角形填上色彩(图3),以增强学生观察的视觉感
觉.在学生完成第一问后,可以将两个三角形中的一个进行旋转,使学
生充分的理解OE和OF的位置关系.从而使学生将图形的结构与几何
推理之间的逻辑关系得到充分理解.
通过几何画板在几何推理中的有效运用,可以使研究性学习方式在学生学习中得到较好的运用,以发展学生的创造性思维和学习能力,将使学生受益无穷.学生对于这样的问题思考和解决方法感到很有兴趣,对于寻找其中有关数学的奥秘怀着非常好奇的心去探究其中的规律,也有利于学生提高数学思维水平,以及处理数学问题的能力.
二 运用几何画板更新教学内容的呈现方式
运用几何画板,常常能从新颖的角度呈现教学内容.问题情景和认知环境的改善,能有效地激发学生的学习兴趣,学生对知识内容的理解就更为深刻.
1 体现数学美,激发学生学习数学的兴趣,提高教学效率.
"数学是一种冷而严肃的美." 可是它究竟体现在什么地方呢 教师也很难说清楚,学生更是云里雾里.在初中阶段,和谐的几何图形,优美的函数曲线都无形中为我们提供了美的素材,在以往为了让学生感受深刻,教师花费很大的精力去搜集图片,资料,在黑板上无休止地画图甚至还着色.如今,利用画板几下就可以画出金光闪闪的五角星,旋转变换的正方形组合等等一系列能体现数学美丽一面的图形.用它们来引入整体,学生会很快进入角色,带着问题,兴趣和期待来准备听课,效果可想而知.
例3:在初中函数教学中,比如在抛物线和反比例函数的图像教学中,通常是用两种方法处理:
(1)取5个以上的点在黑板上画出图象,要画好一个图象,需要十几分钟的时间,有些同学会听得烦起来,这种方法不仅浪费时间,效果也不太理想.
(2)教师先把整体思路,框架打好,把道理讲清楚了,接下来把课前已经画在小黑板上的图形拿出来让学生看.
这种教学方法对学生理解图形,分析图形和解决问题会形成障碍.如果用几何画板来解决上述问题,在课堂上只需要演示图象的形成即可,同时也给学生一种真实的感受和数学美的享受,有利于激发学生主动观察,思考问题的积极性和兴趣,是既省时省力,又有效率的手段和方法.
2 创设问题情境,改善认知环境,提高自主探究能力.
学生的求知欲望是对新异事物进行积极探究的一种心理倾向,是学生主动观察事物,反复思考问题的强大内动力.由于几何画板能够准确,动态地表达几何现象,这就为认识几何现象与规律创设了很好的情境,成为激发学生学习兴趣和求知欲的最有效的策略之一.
例4:北京知春里中学杜利平老师对轴对称概念的讲授是这样进行的:杜老师先利用几何画板制作了一只会飞的花蝴蝶,这只蝴蝶刚一飞上屏幕,立刻就吸引了全体同学的注意,一些平时不爱上数学课的学生这时也活跃起来.同学们根据蝴蝶的两只翅膀在运动中不断重合的现象很快就理解了轴对称的定义,并受此现象的启发还能举出不少轴对称的其他实例.这时在屏幕上显示出成轴对称的两个三角形(如图4,图5),并利用几何画板的动画和隐藏功能,时而让两个对称的三角形动起来,使之出现不同情况的对称图形(例如图形在对称轴两侧,两图形交叉或是对称点在轴上等);时而隐去或显示一些线段及延长线.

在这种形象化的情境教学中,学生们一点不觉得枯燥,相反地,在教师的指导和启发下他们始终兴趣盎然地认真观察,主动思考,并逐一找出了对称点与对称轴之间,对称线段与对称轴之间的关系,在此基础上学生们很自然地发现了轴对称的三个基本性质并理解了相应的定理,从而实现了对知识意义的主动建构.
3 感悟数学思想方法,拓展思维空间.
在实际的数学教学中,当遇到数学史的内容时,教师或者是让学生自己阅读,或只是随便讲讲故事,过于简单化,其实数学史往往包括重要的思想方法.
例5: 极限是数学中很重要的思想方法,我国古代数学在这方面有很高的成就.很多教师往往会从"三尺之棰,日取其半,万世不竭"(《庄子·天下篇》)说起,还有教师也会提到数学家刘徽和他的"割圆术"(利用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周以此求取圆周率的方法),也有教师给学生展现从网上搜集到的与这个问题相关的图形,图片,这种教学,看似运用了信息技术,实则留给学生的只是表面印象,至于对"割圆术"真正蕴涵的思想方法及其巨大的价值,并没有深刻的认识.
运用几何画板可以把"割圆术"包含的思想方法生动地展现在学生面前(如图6,图7,图8),把这一不断逼近的动态过程淋漓尽致地展现出来,整个过程形象生动,叹为观止.

通过演示,学生可以直观地看到,随着正多边形边数的增大,正多边形一步步地逼近了圆周,学生也真正体会到了"割之弥细,而无所失矣"(《九章算术注·方田》)的真正内涵.除了动态演示,还可以利用几何画板的计算功能,启发学生求出的值.这样,学生对这段数学史的学习将不是停留在简单的对历史事实的了解,而是领会了其中丰富的思想方法,为了能更好的拓展思维空间奠定良好的基础.
三 运用几何画板开展数学实验.
数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物.在数学实验中,由于计算机的引入和数学软件包的应用,为数学的思想与方法注入了更多,更广泛的内容,使学生摆脱了繁重而乏味的数学演算和数值计算,促进了数学同其他学科之间的结合,从而使学生有时间去做更多的创造性工作.提高学生学习数学的积极性,提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力.
本文所述的数学实验,是指用几何画板等电脑应用软件根据数学问题制作的各种动画素材以及教师和学生操作运用这些实验素材(软件)的过程.学生通过探索,猜想,验证的实际操作,优化了知识形成的过程,达到提高数学素质的目的.
例6:菱形ABCD中,,点P在BD上,点E是BC的中点,已知PE+PC=1,则菱形的边长最大是多少 (2001年希望杯初二试题)
显然,点P是BD上的动点.随着点P的运动,PE+PC的值在变化.已知与所求之间到底有什么关系 借助几何画板,拖动点P(如图9),发现PE+PC值在接近点B,点D时都增大,在点F时最小.经过反复观察,讨论,认识到:
第一,点P在点F位置时,能保持PE+PC为定值1,菱形边长才最大;
第二,判断出点F其实就是AE与BD的交点,即点A,P,E共线时,PE+PC才取到最小值.PC长不就是AP长吗,.辅助线AP就是这样来了(如图10).这时,对此题的认识就豁然开朗了:
连AP,易得AP=PC.
∵,
又,AB=BC,
∴是正三角形.
而BE=EC,∴,由AE=1,可得.
在这里,几何画板是探求,解决问题的工具,学生自觉,主动地参与到了教学活动之中.通过操作,聚焦几何关系,数量关系的变化过程,展示,暴露了判断何时边长最大,辅助线是如何想到的等思维过程,再次领略到了"数学是思维的体操"的感觉.进一步地可以想到,在学了余弦定理后,上例若改成点E是BE的三等分点时(如图12),也只需解一个方程:,即可得菱形最大边长.
例7 :已知:如图12,点是线段上的
任意一点,(点与A,B点不重合),
分别以,为边在直线的
同侧,作等边和等边,
AE与CD相交于点M,BD与CE相交于 图12
点N.
⑴求证:≌;
⑵求证:‖;
⑶若AB的长为4,当点在线段上移动时,是否存在这样的一点,使线段 的
长度最长 若存在,请确定点的位置,并求出的长;若不存在,请说明理由.
教学中,学生对第⑴,⑵小题都能轻松解决,而对第⑶小题,大多数则认为点移动时的长
度不变.在求()关于()的函数解析式前,教师先在几何画板中拖动点,学生都
清楚地看到随着()的改变,()确实跟着改变,再画出关于的函数图象,大家都看到了与成二次函数关系,并且能猜出当点在边中点时,存在最大值.接下来所求出的函数解析式刚好验证了这一点.让学生经历了一段实验,观察,猜测,验证的思维过程.
可以说,利用数学实验进行研究性学习是数学教学改革上的飞跃.据资料反映,年两个美国初中二年级学生David Goldeheim和Dan Litchfiled应用几何画板发现了又一个任意等分线段的方法;我国东北育才学校的学生应用几何画板发现了广义蝴蝶定理.这些事例足以说明数学实验在数学研究性学习中起着至关重要的作用,而几何画板在进行几何教学中也占有着举足轻重的地位.
利用几何画板可以让学生真正体验到一种数学美的享受,几何画板在创设"问题情境",反映图形运动变化,数形结合,探究数学规律等诸方面都有着独到的作用.它不仅能帮助学生理解数学材料,解决数学问题,而且还能揭示新规律,得到新成果,同时也能唤起学生对数学的兴趣,使数学实验真正进入课堂,向学生揭示事物本质,揭示数学思维活动的过程,使之能模拟数学家的思维方式,逐步形成"数学头脑".我们应把握信息技术的优势,努力开展"高效率高质量"的中学数学教学.
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图11
图10
图9