(7.6.4b)
利用(7.4.9b)的关系,有
(7.6.5)
这样,由(7.6.3)式,CQMFB的分析滤波器组可以构成仿酉矩阵,其对应的系统也是仿酉系统.由(7.6.4a)及(7.4.1)式有
(7.6.6)
将这一结果代入(7.2.12)式,并令式中的k=0,则

(7.6.7)
将(7.6.4a)及(7.6.7)代入(7.2.10)式,有
(7.6.8)
因此,实现了对的准确重建.上面的结论说明,仿酉的调制矩阵直接引出了对的准确重建系统,也即CQMFB.由(7.6.7)式,可导出,和的关系,即(7.4.2)式.由上面的讨论可以看出,仿酉滤波器组总是包含了功率互补的关系.
需要指出的是,仿酉系统等效CQMFB,可以实现准确重建.但可实现准确重建的系统却并不一定是仿酉的.
现在利用上述讨论的结果来给出仿酉系统的多相表示形式.记
(7.6.9a)
(7.6.9b)
(7.6.9c)
(7.6.9d)
式中的下标i代表,的序号,j代表多相结构的序号.显然,,是第一类多相结构,,是第二类多相结构.由上述四式,有
(7.6.11a)
(7.6.11b)
对照图7.1.1,有
(7.6.12a)
及 (7.6.12b)
于是图7.1.1可改为图7.6.1的形式.由5.6节的恒等变换,图7.6.1又可改为图7.6.2
图7.6.1 二通道FB的多相表示
图7.6.2 应用恒等变换后的二通道FB的多相表示
令
(7.6.13)
显然,若希望是的准确重建,必要条件是为一单位阵.其实,令
(7.6.14)
则图7.6.13仍是一PR系统.这一结论可推广到M通道滤波器组.
若,都是仿酉矩阵,由(7.6.14)式,有
(7.6.15)
(7.6.14)和(7.6.15)式给出了在两通道滤波器组中,为实现准确重建,分析滤波器组和综合滤波器组所应满足的关系.进一步,由(7.6.14)式,有
(7.6.16)
该式适用于任意的PR系统.即不管是FIR的还是IIR的,只要其满足PR条件,其多项矩阵行列式之积必须为纯延迟.若保证,和,均是FIR的,那么,也均应是FIR的,这样,(7.6.16)式简化为
, , k为整数 (7.6.17)
这是两通道FIR滤波器组实现PR的充要条件.这一结论也可推广到M通道.同理,也具有(7.6.17)式类似的形式.
总之,对两通道FIR CQMFB,其多相矩阵是仿酉矩阵(或无损),由(7.6.6)式,AC矩阵也是仿酉的.这一类滤波器组有如下性质:
1.是功率对称的,或是一半带滤波器;
2.(注:假定是实的).所以,具有的一切性质,但;
3.,是功率互补的;
4.也是仿酉矩阵,因此,,,,也是功率互补的;
5. ,,和有着同样的长度N,N为偶数.因此,设计出,,,便自动得到.
上述讨论也为下一节的Lattice结构的进入打下了基础.
7.7两通道仿酉滤波器组的Lattice结构
Lattice结构是实现离散系统的常用结构[12,19],它较之横向结构形式有着许多独特的优点.例如,Lattice结构需要最少的存储量和较少的乘法,该结构对于由于有限字长响应引起的舍入误差不敏感,在一些特殊应用的场合,如模拟人的声道及地球的分层研究中,其Lattice系数还有着特殊的物理意义.自然,Lattice结构在滤波器组系统也取得了广泛的应用.
一个标准的Lattice结构的基本单元如图7.7.1a所示,一个完整的Lattice结构如图7.7.1b所示.
图7.7.1 Lattice结构 , (a)基本单元 ,(b)完整的结构
在图7.7.1a中,有 (7.7.1a)
(7.7.1b)
若定义
(7.7.2a)
(7.7.2b)
则可导出如下的递推关系:
(7.7.3a)
(7.7.3b)
及 (7.7.3c)
由此,我们可以导出之间的递推关系:
(7.7.4)
记每一级的转移函数
(7.7.5)
我们可以得到Lattice系数的递推关系,即:
, (7.7.6)
这样,给定一个转移函数,我们即可按上述关系求出其Lattice系数.反之,若已知其Lattice系数,也可按上述关系综合给出.有关Lattice结构的详细推导见文献[12,19].现在我们把这些关系引申到两通道仿酉滤波器组中,并讨论该结构的一些特殊性质[113].
观察图7.6.2,由于
, (7.7.7)
是非常简单的形式.因此,图7.6.2的实现关键是和的实现.对应分析滤波器组,对应重建滤波器组,对CQMFB,二者均为仿酉矩阵,其关系由(7.6.15)式给出.因此,解决了的实现就等于解决了的实现,从而也就解决了整个滤波器组的实现.
仿酉系统,或仿酉矩阵有一个重要的性质,即两个仿酉系统的级联仍是仿酉系统.如令,分别是仿酉系统,并令,则


由于,,所以
(7.7.8)
即是仿酉的.将此结论推广到更多的级,我们可将仿酉矩阵作如下的分解:
(7.7.9)
式中
(7.7.10)
称为旋转矩阵,
(7.7.11)
称为转移矩阵.读者可自行证明如下四个关系:
(7.7.12a)
(7.7.12b)
(7.7.12c)
及 (7.7.12d)
记 ,,,则可表为
(7.7.13)
将(7.7.9)式代入图7.6.2中的部分,可得到图7.7.2(a),再利用(7.7.13a)式,又可得到图7.7.2b.
图中
(7.7.14)
由该图,我们可得到几点结论:
对一般的离散系统的Lattice结构,其上,下支路的系数的符号是一样的,如图
7.7.1b所示.但对仿酉系统的Lattice结构,其上,下支路的系数的符号相反,如图7.7.2b所示;由例7.7.1可以看到,系数依次是正负交替且绝对值是递减的.
图7.7.2 的Lattice实现,(a)基本框图;(b)具体实现
由图7.7.2b,有
(7.7.15a)
(7.7.15b)
同时有
(7.7.16)
这样,如果,是功率互补的,则,也是功率互补的.在图7.7.2b中,最后的输出应是 应是.因此,和也是功率互补的.由(7.4.8)~(7.4.10)式可知,和满足功率互补是CQMFB实现PR的必要条件.
由,往前递推,最前端应是,,也即(7.7.1)式的第一个式子,即,,因此
当我们考虑系统的转移函数或频率响应时,输入应为单位冲激信号,即,故,所以,和也是功率互补的.
同样,由(7.7.15)式,有
(7.7.17)
由(7.7.12c)式,也是仿酉的,因此,图7.2.2的各级均是仿酉的,因此,整个分析滤波器组对应的是仿酉的.又由于
(7.7.18)
因此,仿酉系统Lattice结构的系数只影响系统的定标,而不影响整个系统的准确重建.我们知道,在数字信号处理中总存在着计算上的舍入误差,而这一误差在CQMFB的Lattice结构中,不影响其基本性质,即准确重建.这是CQMFB Lattice结构的一个突出优点,也是我们给以重点讨论的主要原因;
4.(7.7.3c)式给出了Lattice结构上,下转移函数的关系,对CQMFB的Lattice结构,由于上,下支路的系数相反,因此可导出
当时,,,因此有
(7.7.19)
这正是(7.4.1)式.
总之,以上四个方面说明了具有仿酉性质的CQMFB Lattice结构的基本性质和基本关系.更详细内容参看文献[113,15].
上面我们仅考虑了,的Lattice结构与此类似.图7.73a和b给出了一个完整的两通道CQMFB的Lattice实现.
图7.7.3 两通道CQMFB的Lattice实现,(a)分析滤波器组,(b)综合滤波器组
若是一个普通的FIR系统,其的长度为N,那么,其Lattice系数为(N-
1)个[19].若满足CQMFB条件,且来自一半带滤波器,由于的长度为4J-1,的长度为2J,文献[113]证明了由,构成的分析滤波器组的Lattice结构的系数共J个,即,.这一点在图7.7.3(a)中不易看出,且图中N是泛指.如若将该图中的二抽取环节移到右边,考虑,的长度N=2J,则图7.7.3(a)可改成图7.7.4的形式:
图7.7.4 两通道分析滤波器组的Lattice结构
注意图中是去掉为零的偶序号项以后的自然排序,所以,总数为J个,除了最前端的延迟是外,其余皆是.若,则最右边的,.记上支路各级相对的转移函数为,下支路相对的转移函数为,则相邻两级之间的关系是:
(7.7.20a)
, (7.7.20b)
利用矩阵求逆,有
(7.7.21a)
(7.7.21b)
此式给出了由高阶的,递推求解低阶的和的方法,同时也给出了求解Lattice系数的方法.现对该式作三点说明:
(1),是z-1的多项式,二者均是因果的,其最高次幂为;和也是z-1的多项式,由于图7.7.4中的延迟为z-2,所以,二者最高次幂均为,比,分别少了两阶;
(2)文献[15]说明,按图7.7.4给定的Lattice结构形式,若没有最前端的-1,则下支路实际上应是,其中间各级,即,亦是如此.前面的-1保证了最后的输出,但在中间推导过程中,应按来考虑;图7.7.3a和b中的-1亦是起此作用;
(3)由上述两点,那么,在(7.7.21a)式的左边将不会由和项,对该式的右边,由于:
因此在的最后结果中必然有下述关系:
即 (7.7.22a)
(7.7.22b)
此式给出了由给定的向下递推求解Lattice系数的方法.的求解既可以用(7.7.22a)式,也可用(7.7.22b)式,若不考虑求解过程中的舍入误差,二者给出的结果是一样的,这正是两通道CQMFB Lattice结构的特点所决定的.
这样,我们以上从五个方面讨论了CQMFB中 Lattice结构的性质及基本关系,给出了求解Lattice系数的递推方法,特别强调了Lattice系数的量化误差并不影响该滤波器组的PR性质这一突出特点.
以下一个简短的MATLAB程序可用来实现(7.7.22a)式.由于在MATLAB中数组的下标必须从1开始,因此,(7.7.22)式应修改为:
(7.7.23a)
(7.7.23b)
实现(7.7.2a)式的一个简单的MATLAB程序如下:

function alfa=lattice(h0)
h1=-qmf(h0,1);
lh=length(h0);
alfa=zeros(lh/2,1);
c=1;
for j=lh/2:-1:1
alfa(j)=-h0(2*j)/h0(1);
h0temp=(h0-alfa(j)*h1)/(1+alfa(j)^2);
h0=h0temp(1:(2*j-2));
h1=-qmf(h0,1);
a=1+alfa(j)^2;
a=sqrt(a);
a=1/a;
c=c*a;
end
例7.7.1 图7.5.1g给出了满足CQMFB要求的,其长度N=2J=22,现利用(7.7.22)式求其Lattice系数,可得到J=11个系数,和分别如下:
={0.2678, 0.4719, 0.3752, 0.0210, -0.1779, -0.0513, 0.1069, 0.0472, -0.0723, -0.0389, 0.0524, 0.0311, -0.0398, -0.0243, 0.0311, 0.0187, -0.0247, -0.0154, 0.0215, 0.0163, -0.0370, 0.0210}
= -1.6813; = 0.6141; = -0.3752;
= 0.2576; = -0.1862; = 0.1388;
= -0.1060; = 0.0821; = -0.0632;
= 0.0491; = -0.0786
由此结果可以看出,的符号是正负交替出现的,而且其幅度是递减的.
最后需要特别说明的是,两通道CQMFB Lattice结构的另一个突出优点是可以避免7.5节的谱分解运算.我们知道,符合CQMFB的是由一半带滤波器作谱分解得到了.若的长度为2J,则的长度为4J-1,这就需要求解一个阶次为4J-2的多项式.当J较大,特别是当有较多的零点位于单位圆上时,这一分解将会出现较大的误差.文献[113]给出了利用最优化方法直接求解CQMFB的Lattice系数的方法.其思路是:令
(7.7.24)
式中假定,是其阻带边沿频率.上式的含义是使在阻带的能量达到最小.由于是的移位,因此保证和之和为最平.首先指定滤波器的阶次,然后可用7.3节所提到的Johnston的方法设计出一个近似功率互补的作为初始递推的基础,然后再用(7.7.24)式,在使 最小的情况下求出最佳的系数.文献[110]利用该思路计算了20多个不同阶次及不同通带,阻带以及不同衰减下的Lattice系数,可满足多种情况下的需要.有了后,再反用(7.7.22)式,又可求出所对应的滤波器.
总结上面的讨论,我们看到两通道CQMFB的Lattice结构有如下的优点:
1.Lattice系数的量化不影响整个系统的PR性质;
2.当为仿酉矩阵时,他自动满足:
(1)和的功率互补性质;
(2)及 ,;
(3),,;
(4)是功率对称的,即是一半带滤波器;
(5)输入,输出满足:,即系统是一FIR PR CQMFB.
3.Lattice结构在所有已知的CQMFB结构中,具有最小的计算复杂性[15];
4.Lattice结构还可以作为一个设计工具通过使(7.7.24)式最小来设计出最优的两通道CQMFB,避免了谱分解;
特性,即在图7.7.3或图7.7.4中任意删去若干级,系统仍具有PR性质,并具有CQMFB的相应性质.当增加级数时,在实现PR的同时,可有效提高滤波器的频率特性.
7.8 线性相位准确重建两通道滤波器组
7.8.1 基本条件
至此,我们已讨论了两种两通道的滤波器组,一种是7.3节的QMFB,另一种是7.4节的CQMFB,并指出,CQMFB等效于一个仿酉系统.在这两类FB中:
分析滤波器组的关系是,若是FIR的,则也是FIR
的.若保证,也是FIR的,那么必须取纯延迟(见(7.2.12)～(7.2.16)式),或者多相矩阵取纯延迟(见(7.3.9)式).在这两种情况下,若想实现准确重建,和只能取(7.3.10)式的纯延迟.我们前面已说过,这样的滤波器无实用价值.
为了使,具有好的通带,阻带性质,在的制约下,只能
做到近似PR,也即用Johnston方法设计出.在一定的条件下,可以做到具有线性相位,且具有功率对称性质(见(7.3.11)～(7.3.15)式);
在CQMFB中,取,分析滤波器组的多相矩阵具有
仿酉性质,具有功率对称性质,从而做到了准确重建.但这时的来自半带滤波器的谱分解,且是最小相位的.所以,尽管最后实现了PR,但分析滤波器组和综合滤波器组都不是线性相位的.这两类滤波器组的一些基本情况见表7.8.1.
表7.8.1 QMFB和CQMFB的比较
QMFB
CQMFB
基本关系
的相位特点
线性
非线性
的幅频特点
近似功率对称
功率对称
去除失真情况
混迭失真:抵消
幅度失真:最小
相位失真:去除
混迭失真:抵消
幅度失真:去除
相位失真:去除
PR情况
近似PR
PR
表中的"相位失真" 的去除,是指,即总的效果.对CQMFB,尽管
不是线性相位的,但由于其PR性能,最终还是去掉了相位失真.
但是,在实际的工作中,特别是在语音,通讯以及图像处理中,我们总希望所使用的滤
波器是线性相位的,从而保证在滤波器组内部各点处的中间信号也不发生相位失真.这就是人们希望寻求既保证PR,又保证,是线性相位的原因.
在探讨如何得到这类FB之前,我们首先要说明,为要使,具有线性相位,
我们必须放弃在CQMFB中是功率对称的及在QMFB中的制约条件.首先讨论为什么要放弃和的功率互补性质:
假定,是功率互补的,由(7.4.9b)式,二者可表为
>0 (7.8.1)
假定,的长度都是从0到N-1,二者都是因果的FIR系统,且都具有线性相位,那么,,均可表为
(7.8.2a)
(7.8.2b)
将它们代入(7.8.1)式,使
(7.8.3)
因为该方程两边都是FIR的,且右边仅有一项,这意味着:
(7.8.4a)
(7.8.4b)
式中,,将这两项分别相加和相减,我们有
(7.8.5a)
(7.8.5b)
式中,,是合适的常数,且
这一结果表明,若,是FIR的,且是功率互补的,若再满足线性相位,那
么,只能取(7.8.5)式这样简单的纯延迟形式.我们在7.3节已指出过,这样的滤波器是无实际意义的.因此,若希望所设计的两通道FB满足PR,且具有线性相位性质,则必须放弃和之间的功率互补性质.同样的结果适用于和.
现在说明为什么要放弃的约束.由(7.3.8)～(7.3.10)式可知,若
,在保证,,及都是FIR的前提下,若想实现PR,则和只能取(7.3.10)式的纯延迟形式.否则,在保证具有线性相位,且不是纯延迟的情况下,QMFB做不到PR,仅可以近似做到PR.综述上述理由,必须放弃的约束.
总之,不论是放弃,还是放弃,都是要放弃
和之间的正交性.这等效地要求不再是简单地来自,而是和具有不同类型的滤波器.实际上,满足PR和具有线性相位的和满足双正交关系,我们称这一类FB为双正交滤波器组.既具有PR性质又具有线性相位的两通道分析滤波器组可以由谱分解的方法得到,也可以由Lattice结构导出,现分别讨论之.
7.8.2 由谱分解求,
我们在7.5节已指出,满足
(7.8.6)
的称为"合适的半带滤波器".本身具有线性相位,长度为.是最小相位的,是最大相位的,它们的长度均为.
然而(7.8.6)式不是唯一的分解形式,例如,将因果的按如下方式分解:
(7.8.7)
则和可定义一个分析滤波器组,上式中,由(7.2.8a)式,有
(7.8.8)
由于是满足(7.8.6)式的半带滤波器,由(7.4.8)式,有
det (7.8.9)
由(7.2.14)式,假定,则
(7.8.10a)
(7.8.10b)
那么,,,和将实现准确重建.一般,(7.8.7)式中的不一定要求是一合适的半带滤波器.若是合适的半带滤波器,那么(7.8.6)式的谱分解可当作是(7.8.7)式的特殊情况,即取最小相位形式.因此,(7.8.7)式又称广义谱分解.
例如,令,则,,且具有线性相位.按(7.8.7)式,我们有
显然,
由(7.8.10)式,有
将,,和分别代入(7.1.5a)和(7.1.5b)式,有,.既做到了混迭抵消,又实现了准确重建.
7.8.3 Lattice实现
设计和实现具有线性相位和PR的两通道滤波器组的有效方法是采用Lattice结构.首先,我们先看一个简单的例子[15]:
用7.8.1a的分析滤波器组的多相矩阵可表为:
(7.8.11a)
式中 ,, (7,8,11b)
并假定(目的是防止奇异),对应的综合滤波器组如图7.8.1b所示,且
(7.8.12)
由此可求出:
(7.8.13a)
(7.8.13b)
(7.8.13c)
(7.8.13d)
从这四个式子,我们可以看出:
,,和都具有线性相位;
,满足(7.2.1)式的混迭抵消条件;
和不是功率互补的,也不等于;
由于,或者det,由(7.6.14)或(7.6.17)式,该系统具有PR性质;
,,和并不是简单的纯延迟.
注意图中上,下支路的系数是同号的,而分析和综合部分的系数相互反号;
图7.8.1 线性相位PR FB ,(a)分析滤波器组,(b) 综合滤波器组
将上述结论推广到更高的阶次,可得到一个完整的Lattice结构,如图7.8.2所示.
图7.8.2 线性相位PR FB的一般形式, (a) 分析滤波器组,(b) 综合滤波器组,
(c) ,的解释
这样,整个系统亦满足对图7.8.1解释的五点内容.文献[110]证明了具有线性相位且满足PR的,有如下两种情况的制约:
正对称,即,反对称,即,
和都是偶数,并称此类滤波器组为"A类";
,都是正对称,但和为奇数,此为"B类";
该文献及文献[15]给出了求解图7.8.2中Lattice系数的方法,同样也是一种使目标函数最小的寻优方法.但目标函数:
(7.8.14)
而不是像(7.7.24)那样简单地令在阻带内能量为最小.这是因为现在的不是功率对称的,和之间也不是功率互补的,因此目标函数相对要复杂一些.
7.9 树状滤波器组
至今,我们前面所讨论的滤波器组都是最大均匀抽取通道滤波器组,特别着重讨论了=2,即两通道滤波器组的情况.在实际工作中,有时需要将信号作多层次的分解,有时希望所分解的信号占有不同的频带,因此,人们又提出了多种多样的树状滤波器组.图7.9.1a是一规则的树状滤波器组,图7.9.1b是一个倍频段的树状分析滤波器组,而图7.9.1c是相应的综合滤波器组.
如果,,和构成的两通道滤波器组满足混迭抵消及PR条件,那么,将这四个滤波器用在图7.9.1a中,所构成的树状滤波器也满足了去除混迭及PR条件.注意图中第一和第二级用的都是,,这是因为在经过第一级的二抽取后,工作在第二级的信号的抽样率减半,因此,工作在第二级的,较之第一级的,的实际频带也随之减半.这样,是低通信号,是高通信号,和是带通信号,其频带依次为,, 和.
图7.9.1 树状滤波器组,(a) 规则树状滤波器组,(b) 倍频段滤波器组,
(c)综合滤波器组
与之相对比,图(b)的倍频段滤波器组分解后所得到的,,和的频带是不等宽的.由于是低通滤波器,是高通滤波器,所以的频带是,是高通信号,的频带是,是带通信号,的频带是,也是带通信号,而的频带是,是低通信号.请读者自己证明,图7.9.1b可等效为7.9.2a,而图7.9.1c可等效为图7.9.2b,并请说明,应具有的频带范围.
图7.9.2 图7.9.1b和c的等效信号流图
树状结构滤波器组和均匀滤波器组一样,在语音,图像的子带编码和压缩中都有着广泛的应用[6,15,16].尤其是图7.9.1b的倍频段滤波器组,它构成了Mallat多分辨分析的基础,在小波变换中占有重要的地位.详细内容将在第十章中讨论.
E(z2)
↑2
↓2
↑2
↓2
R(z2)
↑2
↓2
↓2
E(z)
R(z)
↑2
Bn-1
D(z)
D(z)
B1
D(z)
B0
……
……
↓2
↓2
……
……
↑2
↑2
……
……
↓2
↓2
↓2
↓2
↓2
↓2
……
……
↓2
↓2
T0
T1
Tj
S0
S1
S2
Sj
↓2
↓2
……
……
Tk
Sk
H1(z)
G1(z)
↑2
↓2
H1(z)
G0(z)
↑2
↓2
H0(z)
↓2
G1(z)
↑2
H0(z)
G1(z)
↑2
↓2
H1(z)
G0(z)
↑2
↓2
H0(z)
↓2
↓2
H1(z)
↓2
H0(z)
↓2
H0(z)
↓2
H0(z)
↓2
H1(z)
↓2
H1(z)
↑2
G1(z)
↑2
G1(z)
↑2
G0(z)
↑2
G0(z)
↑2
G1(z)
↑2
G0(z)
↓2
H3'(z)
↓4
H2'(z)
↓8
H1'(z)
↓8
H0'(z)
G3'(z)
↑2
G2'(z)
↑4
G1'(z)
↑8
G0'(z)
↑8
G0(z)
↑2