2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一,选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数在上的最小值是 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] 当时,,因此
,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2.
2.设,,若,则实数的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
[解] 因有两个实根
,,
故等价于且,即
且,
解之得.
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 ( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲,乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
,
,
,
故.
[解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故.
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.
若,则,易知,,得一组解.
若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解.
若,则,有唯一解,.
若,则,此时,.故,但,故,此时无解.

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