2006年浙江省普通高校"专升本"联考《高等数学(一)》试卷(A卷)答案
填空题:(只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有8个空格,每一个空格5分,共40分)
1..
2.函数的间断点是.
3.若在处连续,则
4..设,则.
5.
6.设,交换积分次序后
.
7.已知则.
8.微分方程的通解为,其中为任意常数.
选择题:(本题共有5个小题,每一个小题4分,共20分,在每小题给出的选项中,只有一项符合要求)
函数的定义域为,则函数的定义域是

., .,
. , ..
2.当时,与不是等价无穷小量的是
., .,
., ..
3.设,其中,则下面结论中正确的是

. .
. .
4.曲线与轴所围图形的面积可表示为
.,
.,
.
..
5.设为非零向量,且,则必有
., .,
. .
计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,本题有10个小题,每小题7分,共70分)
1.计算.
解:= 分
又因为 分
分
所以=. 分
2.设,求.
解; 分
= 分
3.设函数 ,求.
解: 2分
4分
7分
4.计算不定积分.
解: 3分
= 7分
5.计算定积分.
解: 3分
= 5分
=. 7分
6.求微分方程满足的特解.
解:微分方程对应的特征方程为

特征根为 1分
而,所以为单根, 2分
对应的齐次方程的通解为 3分
非齐次方程的通解为代入原方程得 4分
有通解 5分
有
有解 7分
7.求过直线 ,且垂直于已知平面的平面方程.
解:通过直线的平面束方程为
即
3分
要求与平面垂直,则必须
6分
所求平面方程为 7分
8.将函数展开成的幂级数,并指出收敛半径.
解: 2分
= 3分
=
= 6分
收敛半径 7分
9.计算,其中由直线和双曲线所围成的封闭图形.
解: 3分
= 5分
= 7分
10.当为何值时,抛物线与三直线所围成的图形面积最小,求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积.
解:设所围面积为
2分

令 3分
,所以为最小的面积 4分
7 分
四;综合题:(本题有3小题,共20分)
(本题8分)设函数在上连续,且,证明方程
在内有且仅有一实根.
证明:令, 则在上连续, 2分
, 4分
由闭区间上连续函数的介值定理知道在内至少存在一点,使得
5分
又因为,所以单调上升,在内最多有一个根,所以在内有且仅有一个实根. 7分
2.(本题7分)证明:若,则.
证明:令 2分令,(当时,,此时
+ 5分
所以是在上的极大值,有唯一性定理知:是最大值,故 7分
3.(本题5分)设是连续函数,求积分的值.
解: 令
.