课程名称:流形上的微积分 (Calculus on Manifolds)
一,课程目的,任务:流形上的微积分是高等师范院校基础数学专业的一门选修课程.主要论述与流形有关的最重要,最基本的知识,包括流形,切向量,张量与外微分形式等概念和一些主要定理,以及流形上的积分和Stokes定理.通过对本课程的学习,使学生掌握必要的现代数学基础知识,为学生进一步学习现代数学和近代理论物理,阅读科学论文,进行科学研究打下必要的基础.
二,课程内容:重点了解和掌握流形,切向量,张量等概念及例,对外微分形式及流形上的积分等概念和基本计算有较好的掌握并能用以理解Stokes定理.培养几何直观和图形想象的能力及从具体到抽象的能力.
三,教学方式,实践环节的特色:本课程以教师课堂讲授为主,并安排适当的课外答疑.在学习本课程的过程中要求学生完成适当的课外练习.
四,教材及参考书目:
教材: 陈维桓编著:《微分流形初步》,高等教育出版社 1998年版
参考书目:
1,陈省身 陈维桓著:《微分几何讲义》,北京大学出版社 2001年版.
2,斯皮瓦克(Spivak,M.)著:《流形上的微积分》,科学出版社 1985年版.
3,白正国 沈一兵等编著:《黎曼几何初步》,高等教育出版社 1992年版.
五,考核方式与评价结构比例:
平时成绩占40%,采用课堂提问,作业等形式进行;期末闭卷考试,考试成绩占60%.
六,讲授大纲:
第一章 微分流形
(一)本章教学目的与要求:
了解和掌握流形及微分结构的概念,掌握流形的一些常见的例,并对这些例能给出相应的微分结构.
了解和掌握光滑流形上光滑函数的概念及能用它推广为流形间的光滑映射.
了解和掌握切向量,切空间,余切向量,余切空间,切映射,余切映射等概念,对不同的局部坐标系所产生的自然基底之间的变换要有较好认识.
了解和掌握经典的反函数定理与隐函数定理及流形上的推广,了解浸入与嵌入子流形及淹没映射的概念,介绍Whitney嵌入定理,从中初步看出欧氏空间的子流形的复杂性与多样性.
(二)教学内容:
引言 流形的概念 流形的例
第二节 光滑映射
第三节 切向量和切空间
子流形
第二章 切向量场
(一) 本章教学目的与要求:
了解和掌握光滑切向量场的概念和几何意义, 并对向量场的奇点和Hopf定理有一些认识.
了解和掌握张量,切丛,张量丛及光滑张量场的概念,熟悉基本的张量运算.
了解单位分解的定义,希望能从中初步看出如何从局部性质过渡到整体性质.
了解和掌握对称张量与反对称张量的的概念并对对称化与反对称化算子有一定的认识.
(二)教学内容:
第一节 光滑切向量场
第二节 张量 切丛 光滑张量场
第三节 单位分解
对称张量与反对称张量
第三章 外微分式
(一) 本章教学目的与要求:
了解外形式与外代数的概念并对其上的外积运算有较好的掌握.
了解和掌握外微分式的概念和其上的外微分算子及其性质,介绍de Rham定理,认识Poincare引理.
了解和掌握外微分式的积分的概念,从而认识流形上的积分.
理解Stokes公式,学习计算流形上的积分,并能对高等微积分的一些经典结果有一些现代化的认识.

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