2003年全国硕士研究生入学考试(数学二)试题及答案解析
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) 若时, 与是等价无穷小,则a= -4 .
【分析】 根据等价无穷小量的定义,相当于已知,反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.
【详解】 当时,,.
于是,根据题设有 ,故a=-4.
【评注】 本题属常规题型.
(2) 设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .
【分析】 先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】 等式两边直接对x求导,得
,
将x=1,y=1代入上式,有 故过点(1,1)处的切线方程为
,即
【评注】 本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.
(3) 的麦克劳林公式中项的系数是 .
【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值,则麦克劳林公式中项的系数是
【详解】 因为 ,,,于是有
,故麦克劳林公式中项的系数是
【评注】 本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案.
(4) 设曲线的极坐标方程为 ,则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
【分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可.
【详解】 所求面积为

=.
【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,但计算过程比较复杂.
(5) 设为3维列向量,是的转置. 若,则
= 3 .
【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1,必可分解为一列乘一行的形式,而行向量一般可选第一行(或任一非零行),列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.
【详解】 由=,知,于是
【评注】 一般地,若n阶矩阵A的秩为1,则必有
(6) 设三阶方阵A,B满足,其中E为三阶单位矩阵,若,则 .
【分析】 先化简分解出矩阵B,再取行列式即可.
【详解】 由知,
,即 ,
易知矩阵A+E可逆,于是有
再两边取行列式,得 ,
因为 , 所以 .
【评注】 本题属基本题型,综合考查了矩阵运算与方阵的行列式,此类问题一般都应先化简再计算.
二,选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设均为非负数列,且,,,则必有
(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.

下一页