引论 数学建模简介

一、数学模型的概念和意义

1、数学模型的概念

随着数学建模竞赛影响的日益扩大，数学模型及数学建模已为越来越多的人所知晓。但对于大多数的人而言，数学模型仍是一个看似高深的概念。因为在一般人的思维中，与模型有关的是飞机、舰艇或者航空、航海等字眼，是一个看得见摸得着的东西，虽然有别于实物，但毕竟是现实的。而数学给人的印象是公式，是理论，这两者是如何联系起来的呢？

其实数学模型对每个人而言都是非常熟悉的，在上小学时我们都曾经做过这样的题目：

“从甲地到乙地距离100公里，汽车的速度为每小时20公里，问从甲地到乙地需多少时间？”解答这类应用题便是最简单、最基本的数学建模问题，而在此过程中得到的数学式子便是我们建立的数学模型。

数学模型的定义可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构【1】。

2、建立数学模型的意义

马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学发展的水平。

回顾科学发展的历史，物理学是最早与数学结合的科学。力学，这是物理学里面最先完成精确化的一个分支，是最先从物理学中独立出来，成为一门单独学科的。随后，光学、热学、声学、电磁学等学科也由于数学方法的加入，逐一从物理学的母体中脱胎而出。由伽利略开创而由牛顿完成的经典力学体系，是近代科学发展初期应用数学的必然结果。牛顿把他的力学著作称之为《自然哲学的数学原理》，说明他对数学的高度重视，也反映了这门学科的精确化水平。牛顿是以他的力学三大定律闻名于世的，作为一个伟大的物理学家，数学中也深深地留下了他的烙印，即微积分的牛顿－莱布尼兹公式。

在整个十八、十九世纪，是牛顿力学体系绝对统治物理科学的时期。这期间，力学和数学相互带动，彼此促进，成为科学发展史上得天独厚的一对。与此同时，数学被逐渐推广到物理学的替他学科，如热学、声学、光学、电磁学，使这些学科也欣欣向荣，茁壮成长起来。以傅立叶、麦克斯韦和玻耳兹曼等人为代表，把数学应用到热学、电磁学和分子运动论中，因而物理学获得了一系列重要成果。

二十世纪，爱因斯坦创立的相对论，就是运用偏微分方程、张量分析和黎曼几何等新的数学工具，以严密的数学结构表达的物理理论，从而使人类对物质运动的认识从宏观低速领域发展到宇观高速领域，使整个自然科学开始了一场崭新的革命。1916年，爱因斯坦通过引进非欧几何这一新数学理论，从而把引力和几何概念联系在一起；1925年，量子力学中引进了Hilbert空间，才使这门描述微观物体运动规律的新学科建立起完整的理论体系。

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