振动

物体在一定位置附近作周期性的往返运动,如钟摆的摆动,心脏的跳动,气缸活塞的往复运动,以及微风中树枝的摇曳等,这些都是振动.振动是一种普遍而又特殊的运动形式,它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近,局限在一定的空间范围内往返运动,故这种振动又被称为机械振动.除机械振动外,自然界中还存在着各式各样的振动.今日的物理学中,振动已不再局限于机械运动的范畴,如交流电中电流和电压的周期性变化,电磁波通过的空间内,任意点电场强度和磁场强度的周期性变化,无线电接收天线中,电流强度的受迫振荡等,都属于振动的范畴.广义地说,凡描述物质运动状态的物理量,在某个数值附近作周期性变化,都叫振动.
9.1 简谐振动
9.1.1 简谐振动实例
在振动中,最简单最基本的是简谐振动,一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果.在忽略阻力的情况下,弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动.
1. 弹簧振子
质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端,这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子.如将弹簧振子水平放置,如图9-1所示,当弹簧为原长时,物体所受的合力为零,处于平衡状态,此时物体所在的位置O就是其平衡位置.在弹簧的弹性限度内,如果把物体从平衡位置向右拉开后释放,这时由于弹簧被拉长,产生了指向平衡位置的弹性力,在弹性力的作用下,物体便向左运动.当通过平衡位置时,物体所受到的弹性力减小到零,由于物体的惯性,它将继续向左运动,致使弹簧被压缩.弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力,该弹性力将阻碍物体向左运动,使物体的运动速度减小直到为零.之后物体又将在弹性力的作用下向右运动.在忽略一切阻力的情况下,物体便会以平衡位置O为中心,在与O点等距离的两边作往复运动.
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点,物体的运动轨迹为x轴,向右为正方向.在小幅度振动时,由胡克定律可知,物体所受的弹性力F与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比,弹性力的方向与位移的方向相反,总是指向平衡位置.即
F=-kx
式中k是弹簧的劲度系数,它由弹簧本身的性质(材料,形状,大小等)所决定,负号表示力与位移的方向相反.
根据牛顿第二定律F = ma和a =,物体的加速度为
即 (9-1)
对于一个给定的弹簧振子,k与m都是常量,而且都是正值,故我们可令
(9-2)
代入上式得 (9-3)
这一微分方程的解是
(9-4)
式中是积分常数,它们的物理意义将在后面讨论.由上式可知,弹簧振子运动时,物体相对平衡位置的位移按余弦(或正弦)函数关系随时间变化,我们把具有这种特征的运动称为简谐振动.
根据速度和加速度的定义,将(9-4)分别对时间求一阶导和二阶导,可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度:
(9-4a)
(9-4b)
上述各式中,(9-3)揭示了简谐振动中的受力特点,故称之为简谐振动的动力学方程,而(9-4)反映的是简谐振动的运动规律,故称为简谐振动的运动学方程.
2 . 单摆
如图9-2所示,一根不会伸缩的细线上端固定,下端悬挂一个体积很小质量为m的重物.细线静止地处于铅直位置时,重物在其平衡位置O处.
把重物从平衡位置略为移开后放手,重物就在平衡位置附近来回摆动, 这种装置称为单摆.
设在某时刻, 单摆的摆线与竖直方向的夹角为θ ,忽略一切阻力时,重物受到重力G和线的拉力T作用.重力的切向分量决定重物沿圆周的切向运动.设摆线长为l,沿逆时针方向转过的θ 为正,根据牛顿运动定律得
当θ 很小时,≈ θ,所以
式中令.与式(9-3)相比较可知, 单摆在摆角很小时的振动是简谐振动.
3.复摆
一个可绕固定轴O转动的刚体称为复摆.如图9-3所示.
平衡时,摆的重心C在轴的正下方,摆动到任意时刻, 重心与轴
的连线OC偏离竖直位置一个微小角度θ ,我们规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正.设复摆对轴O的转动惯量为J,复摆的质心C到O的距离OC=h.
复摆在角度θ 处受到的重力矩为M = -mgh sin θ , 当摆角很小时,,所以M = -mgθ h,由转动定律得

式中令,与式(9-3)相比较可知, 复摆在摆角很小时的振动是简谐振动.
例9-1. 一远洋海轮,质量为M,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近海轮的水平截面积近似相等,如图9-4所示.试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动.

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