一种巧用数学知识的扑克游戏
华东师范大学数学系 宋国栋 林 磊
在数学系教师的迎新春联欢会上,林老师表演了猜扑克牌的游戏.他拿出一副牌(52张,不含大,小怪),让在座的随便哪一位任意抽出五张,交给他的助手,助手将其中的四张牌一字排开, 依次亮在桌面上,林老师看了看桌面上的四张牌,就猜出了他所没有看到的那张牌(花色和牌点).如此猜了五,六回,全部正确无误,他的精彩表演博得了全体同仁的热烈掌声.
这是一种巧妙地运用数学知识的扑克游戏,欲知其详,让我们细细道来.
抽屉原则
件物品,按任意方式分放在个抽屉中,则当时,至少有一个抽屉内放的物品多于一件,这就是抽屉原则—一个常识性的原理.在我们的游戏中,将扑克牌的每一种花色作为一个"抽屉",共四个.由于抽出的牌是五张,根据抽屉原则,至少有一门花色的牌多于一张,从这门花色中取一张(一下会告诉你究竟取哪一张)作为要才的暗牌,记为G.与G花色相同的牌(亮在桌面上的四张明牌之一),就摆在最左边的位置,称为花色位.这样,猜牌者一望桌上排着的四张名牌,就立即知道暗牌G的花色了.剩下的问题是要确定G的牌点,这取决于另外三张明牌的排列顺序.
集合的序
一个集合,如果其各元素之间确定了一种顺序关系,就称为有序集.这里,我们只关心如何对52张扑克牌的集合确定顺序关系,即各张牌之间的大小关系.我们做如下规定:不同牌点的牌,牌点大者为大,这里规定A的牌点为1,J,Q,K的牌点分别为11,12,13,其余的牌则按牌面数字;牌点相同(花色不同)的牌,按梅花(Club),方块(Diamond),红心(Heart),黑桃(Spade)作为自小到大的次序.这样,52张牌的大小关系就完全确定了,其中黑桃K(记为SK)最大,其余依次为红心K(HK),方块K(DK),…,梅花A(CA)最小.
全排列
我们知道,个不同的全排列的种数是.在我们的游戏中,四张明牌除了放在花色位的牌外,另外三张按其从小到大的顺序分别称为小,中,大,它们在桌上的排列顺序有以下六种:
小中大,小大中,中小大,中大小,大小中,大中小,
分别记为,,…,.
有了以上的准备工作,我们的问题已接近解决了.设抽出的五张牌中,某一花色两张牌的牌点分别为,,.现先假定
(1)
在这种情形下,表演者的助手将牌点为的那张作为暗牌G,将牌点为的那张牌放在花色位上,余下三张牌则按排列方式来摆放.于是,猜牌者一看花色位的牌就知道暗牌的花色,再由另三张牌的排列顺序得出相应的值,从而算出暗牌的牌点为.例如,设抽出的五张牌为
D2,D9,DK,H2,H9 (2)
显然D9和DK这两张牌满足条件(1),故助手取DK为暗牌,将D9放在最左边的花色位上,其余三张牌在桌上的排列顺序为(),即四张明牌在桌上的摆放顺序为
D9,H2,H9,D2.
猜牌者由D9得知暗牌的花色为方块,而从后三张牌的排列顺序(中大小,即),算出暗牌的牌点为,从而猜出暗牌为方块K.
如果在上例(2)中,将D9(或DK)换成梅花或黑桃花色的任一张牌, 比如换成S7,即五张牌为
D2,DK,H2,H9,S7, (3)
那么就有麻烦了.因为此时同一花色(无论是方块还是红心)的两张牌,其牌点大者与小者的牌点数之差,即前面的假设(1)不成立.一般地,的值可取从1到12这12个值中的任一个,但三张牌的全排列只有六种.如何克服这个困难
现假定:上述同一花色的两张牌,其牌点大者与小者的牌点数之差,则我们可将小牌点数加上13,记
及 (4)
此时易见成立,即只能取从1到6的六个值之一.于是,在这种情况下,我们可将同花色种牌点小的那张牌(牌点为)作为暗牌,并按公式(4)计算出,再将余下的三张牌按排列方式来摆放即可.
如在实例(3)中,我们可取D2为暗牌,将DK放在花色上,此时,,,,故另三张牌的排列为(小大中).于是四张明牌的摆放顺序为
DK,H2,H9,S7.
猜牌者首先看出暗牌花色为方块,再由后三张牌的排列顺序得,从而,最终猜出暗牌为方块2.
我们想到:国足教练米卢提倡"快乐足球",那么,我们能否也让学生们玩一下(哪怕是偶尔一次)"快乐数学"呢
数学教学,2002年第3期,33~34