反函数教学中几个问题的解析

反函数教学中几个问题的解析
长沙市麓山国际实验学校李建华
湘潭市二中李林辉
反函数本身是函数,是函数中一个特殊现象.深刻理解反函数的概念及性质,有助于函数本质的理解与掌握.反函数是函数中一个重要的概念,它是从研究两个函数关系的角度产生的.从映射的角度可知,函数是定义域集合A在对应法则的作用下,从A到值域C的映射,它的反函数是集合C到集合A的映射,而且路径是相反的.反函数也是函数学习中的难点之一,不少同学较难理解和掌握.现就反函数学习中几个常见的问题作些解析,供教学时参考.
1.关于反函数定义的解析
根据反函数的定义我们不难看出,函数的反函数,实质上就是原函数值与其自变量相对应的函数,.因此,求反函数值也就是求原函数值的逆运算.在定义教学中,本人是采取从具体到抽象,再从抽象到具体的方法来处理反函数的定义的.如图,从具体的简单框架图

出发,先找一个从数集到数集的函数,此函数显然满足,对于中的每一个元素,在对应法则的作用,在集合中都有唯一确定的元素与之对应.反过来,在相反的路径之下,对于中每一个元素,在的作用下,在集合中都有唯一确定的元素与之对应.这样,的反函数即.这样处理,学生对反函数也是函数的理解就水到渠成了,另外,关于反函数的概念中"反"的理解更为透彻.然后,再回到反函数的教材上的抽象定义,学生理解起来也就非常轻松了.
例1.已知,求:
解:设 ,由,
所以.
反函数本身是函数,定义域是函数的基础,所以求反函数时一定要注意标上反函数定义域.又由反函数的定义容易知道,反函数定义域与原函数的值域一致,并由此而确定,解题时必须予以注明.
例2,
解:由
故所求的反函数是
2.关于反函数的存在性的解析
,解出后,根据反函数的定义要求,当取函数值域中任意一个确定的值时,在定义域内必须有唯一的值和它相对应.据此,我们不难得到下面的结论:存在反函数的条件:的定义域与值域一一对应.对于函数,如果取函数定义域内任意两个个变量,当时,有,则函数存在反函数.所以,一一对应映射所确定的函数一定存在反函数.从而,定义域不为{0}的偶函数一定不存在反函数,在其定义域内具有单调性的函数一定存在反函数.
例3.判断下列函数是否存在反函数:
①
②
③
解 ①显然-2≠2时,,所以函数不存在反函数.
②,函数为增函数,所以存在反函数.若改变定义域,如等,则不存在反函数.
③因为在其定义域为单调增函数,故存在反函数.
3.关于反函数的性质解析
原函数与反函数之间有着密切的联系,反函数具有许多性质,归纳起来有:
(1)反函数的定义域为原函数的值域;反函数的值域为原函数的定义域;
(2)反函数与原函数的单调性相同;
(3)反函数与原函数的奇偶性相同;
(4)反函数与原函数的图像关于直线y=x对称.
掌握了上述结论,解决有关问题时就会事半功倍.
例4.判断下列说法是否正确:偶函数函数不存在反函数
分析:很多教辅资料上,都以此为依据解题,认为偶函数不存在反函数,又因为解出的答案跟正确答案一致,故造成以讹传讹.其实,由偶函数定义,偶函数一般不存在反函数.但是,如函数是偶函数,明显存在反函数,.
例5.求函数的反函数的定义域.
解: 因为x≥1时,, 所以反函数的定义域为.
例6.已知点(1,2)既在函数的图像上,又在其反函数的图象上,求函数的表达式.
分析由原反函数的图像关于直线y=x对称,我们容易知道,原函数的图像过点(1,2)及(2,1).所以:
4.关于互为反函数的两个函数图象交点问题解析
原函数的图象与反函数的图象关于直线对称, 原函数的图象与直线的
交点必是两函数图象的公共点 , 但两函数图象的公共点不一定都在直线上.认为
"原函数图象与反函数图象的公共点必在直线上"这个错误的观点,不仅学生在解题时
经常出现,而且在一些参考资料中也时常见到.在与一些老师交谈时,甚至提及到:我的老师是这么讲的,我教了几十年书,也一直是这么讲的,足以看到以讹传讹的严重程度.
解析:可举例说明:如函数.方程的解为,其反函数为本身,图象关于直线对称,即互为反函数的两图象的公共点并不都在直线上.
互为反函数的函数图象交点情况多种多样,不过我们可以明确以下几点:
如果两个函数的图象有交点,则交点或者在直线,或者关于直线对称;
证明:设点是函数与其反函数的交点,若a=b,则点(a,b)在直线y=x上;若,则有,故,即点(b,a)也是此两函数图象的交点,所以此时这两函数的图象的交点关于直线y=x对称.
当函数为定义域上的单调递增函数时,其图象若与其反函数的图象的交点在直线上.
证明:(反证法)
假设两个函数的图象有一个交点不在直线上,则,不妨设,由互为反函数的图象关于直线对称知点也是两个函数的交点,因此:这与函数为定义域上的单调递增函数相矛盾,即,假设不成立,所以:一个增函数的图象如果与其反函数的图象有交点,那么交点一定在直线上.
在证明过程中我们发现:如果已知函数为定义域内的减函数则结论不成立.
例7, 函数的图象与其反函数图象的交点坐标为 .
分析:本题常规解法是求出反函数,再与原函数的关系式联立得方程组求解,这样解显然较繁.
若利用性质"函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称",则易知两函数图象若有交点,则交点必在对称轴上,那么由即得x=0或x=1,从而y=0或y=1,交点坐标为(0,0),(1,1).此提法是错误的,如对于函数f(x)=+1,其反函数为,易知函数f(x)= +1和的图象都过点(0,1),(1,0),故这两点都是此两函数图象的交点,但这两点显然都不在直线y=x上;但因为函数是增函数,故由上述结论2可知道,答案碰巧就对了.
5.关于复合函数的反函数与反函数的复合函数
函数的反函数指的是复合函数的反函数;而函数指的是的反函数中的x用代替得到的解析式,即的反函数的复合函数,这两个函数一般是不同的.
例8 已知函数(x)=,求(x+1) 的反函数.
错解由(x)= ,可求得其反函数为从而所求的反函数为
.
解析上面解法的错误是误认为反函数的复合函数是复合函数的反函
数.事实上,函数的映射法则已不再是""了,当然""不是它的逆映
射,正确的解法是:
令g(x) = (x+1)= 解得
即的反函数为
例9 已知(x+1)=, 求–1(x).
错解令y=(x+1)=2x-1, 从而解得–1(x) = x+
解析上面解法中把复合函数的反函数误认为–1(x),正确解法为:
从中解得, 从而可求得
参考文献:陈军《中学数学研究》 2003年第1期

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