几何学的未来发展
丘成桐 费尔茨得主
美国哈佛大学教授
校长,院长,及各位同学,今天很荣幸能够在这裏演讲,尤其今年是交通大学一百年校庆纪念,能到一个比较注重工程的学校来讲数学,表示交通大学也注重理科方面的工作,这是很有意义的.因为基本科学对於工程学有很重要的启发性.今天我讲的题目是林松山教授给我的.但是学术的未来很难猜测,很多有学问的人都曾经得出错误的结论.所以我不作任何猜测,我只能够根据以前的历史来做一些建议.
今天要讲的历史主要是从个人的体验来看.我不是一个历史学家,我讲的很可能是错误的.可是这不重要,因为我想讲的是我从做学问得出来的观念,希望能够以我自己的经验来做一些建议.清华大学跟交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士,我看过杨先生写的一篇文章,杨先生讲做物理好象画图画一样.我想做几何也跟画图画差不多,不过我们画的图画更广泛一点.物理学家要画的基本上只有一张图画,就是自然界的现象.但是几何学家可以随意去画,我们可以画广告画,画工程学需要的画,也可以画印象派的画和写实的画.广告画可以在商业上有很大的用处,过几年后可能成为收藏的对象.但是由於商业气氛浓厚,一般画家不大愿意认同它们的价值.广告画或工程画却可能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响.不过画印象派的画或山水画,一定要有很深的技术,功力和想法才能画得好.出名的画家往往花很多时间在磨练,在猜测,将他的工具不停地推进,在好的气质修养下,才能够画出好的印象派的画或山水画.一般数学家和几何学家也有同样的经验,有意义的工作即使是个很小的观察(observation),往往花了数学家很大的精力去找寻.找寻的方法不单是从大自然吸取,也从美学和工程学来吸取.怎样去寻找有意义的工作,跟我们气质的培养有密切的关系.
现在我想谈几何的历史,看看从前,再预测未来.因为我没有想到林松山教授给我这麼长的时间,所以会讲长一点.从前我们念中学的时候,念国文,念文学批评,总会说一个时代有一个时代的感慨.数学基本上也是一样,文学上有古文学,有诗经,有汉赋,有唐诗,有宋词,从一个时代去学习一个时代,很少能够学得刚好一样.我们现在看诗经写得好得不得了,可是我们学不到诗经裏面的情怀意念.时代不同,感慨也不同了.随著时代的变迁,因为时代不同的需要,我们培养出不同的感情,取舍自然不一样.我们可以很羡慕从前大数学家做的工作,可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样.就好像我们现在学苏东坡的诗和词,我们不可能也不需要学得一样,但是我们可以从他的诗词裏得到想法,帮助我们去理解大自然,找寻表达自己感情的方法.从几何来说,我们所要寻找的跟物理学一样,就是真和美这两个观念.还有一个很重要而容易忽略的动力,是由工程学对数学需求所产生的.这三个想法推动了几何学的发展.
美的观点在不停地改变,改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大的关系.一,二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同,所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响.在几何学来说,美可分为两方面:静态的美和动态的美.静态的美,譬如一朵花或雅致的山水,我们大致知道怎样准确地去描述他们,甚至将我们的感受表达出来.如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题,例如水在流或天在下雪,在不同的时间,空间,事物会产生激变,这是一个相当美的图画.可是到目前为止,激变的研究对理论物理学家,数学家跟几何学家都是一个很大的挑战.为了对时空作深入的描述,几何学家有不同的研究的路径:有人从物理学的角度去了解,有人从微分方程的角度去了解,这都成为几何学的重要课题.
从古至今大家都讲美,但是没有很客观的标准来决定什麼叫美或者不美.最重要的观念只有一个,就是简洁simplicity.这往往是我们审美的一个主要标准.在做几何,做数学,做物理的研究时,我们都在描述一个很复杂的几何现象.假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话,我们不算有一个好的定理或者好的文章.用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象,在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程.当时有很多定理,从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象,但是没有办法有系统地放在一起.欧氏很重要的贡献,就是能够将定理统一起来,用公理来解释所有当时发现的定理.例如两点之间可以用唯一的直线连接起来这个事实,可以推导出很多定理.追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象,是几何学家的目标.物理学也是一样,物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述.从前中国也发展了平面几何,可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论.这是中国数学不如西方数学的一个原因.公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象,也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象.

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