高中数学"数列的综合问题"教学研究)数列求和
数列求和在现行高中新教材中,所占篇幅极小,只通过一个例题一个练习一个习题反映这一内容,但其重要性却不容忽视,如等差数列前N项和公式的是用"倒序相加法",等比数列的前N项和公式的推导是用"错位相减法".这些求和的方法在教材中没有系统安排,只是在非等差(等比)数列的求和中有所体现,下面我们就具体看看这些方法.
一、公式法
等差数列,等比数列的求和公式,自然数列的求和公式,自然数列的平方的求和公式,自然数列的立方和公式.
1.等差数列的求和公式:
2.等比数列的求和公式:当时,
当时,
3.
4.
5.
例1已知,求的前n项和.
解:由
由等比数列求和公式得
=
=
=1-
解析:如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式,可以直接利用公式.
二 错位相减法求和
这种方法是推导等比数列的前和公式时所用的方法,主要用于求数列前项的和,其中分别是等差数列和等比数列.
例2:求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和.
解:若a=0, 则Sn=0
若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan
∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1
=
∴Sn=
当a=0时,此式也成立.
∴Sn=
解析:数列是由数列与对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种情况进行讨论,最后再综合成两种情况.
例3 设数列满足
⑴求数列的通项公式;⑵令,求数列的前n项和
解析 ⑴由已知,当时,
.
而 所以数列{}的通项公式为.
⑵由知 ①
从而 ②
①-②得.
即例4已知数列满足,且对任意都有

下一页