2.5等比数列的前n项和
(一)教学目标
知识与技能:掌握等比数列的前n项和公式,并用公式解决实际问题
过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
情态与价值:从"错位相减法"这种算法中,体会"消除差别",培养化简的能力
(二)教学重,难点
重点:使学生掌握等比数列的前n项和公式,用等比数列的前n项和公式解决实际问题
难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
(三)学法与教学用具
学法:由等比数列的结构特点推导出前n项和公式,从而利用公式解决实际问题
教学用具:投影仪
(四)教学设想
教材开头的问题可以转化成求首项为1,公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列,我们有必要探讨等比数列的前n项和公式.
一般地,对于等比数列
a1,a2,a3,..., an,...
它的前n项和是
Sn= a1+a2+a3+...+an
由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn= a1+a1q + a1q2 +...+a1qn-1 ①
式两边同乘以公比q 得
qSn= a1q+ a1q2 +...+a1qn-1+ a1qn ②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得
(1-q)Sn= a1-a1qn
当q≠1时,
Sn= (q≠1)
又an =a1qn-1 所以上式也可写成
Sn=(q≠1)
推导出等比数列的前n项和公式,本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1时,等比数列的前n项和公式为Sn=na1
公式可变形为Sn==(思考q>1和q<1时分别使用哪个方便)
如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和:
(1),,,...;
(2) a1=27, a9=,q<0
评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.
某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第66页第1.2.3题
[课堂小结]
等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
(五)评价设计
(1)课后阅读:课本67页[阅读与思考]
(2)课后作业:第69页1,2,4题