二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007年9月23日上午(8:30-11:00)
考生注意:1,本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.
3,解题书写不要超出装订线.
4,不能使用计算器.
一,选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分;不选,选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
1,为互不相等的正数,,则下列关系中可能成立的是( ).
,; , ; ,; ,;
2,设 ,又记则( ).
,; , ; ,; ,;
3,设为锐角,,则的大小顺序为( ).
,; , ; ,; ,;
4,用红,黄,蓝,绿四种颜色给图中的A,B,C,D四个小方格涂色(允许只用其中几种),使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ).
,; ,; ,; ,.
5,正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为,则其侧面与底面的夹角为( ).
,; ,; ,; , .
6,正整数集合的最小元素为,最大元素为,并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列,则并集中的元素个数为( ).
, ,; ,; ,.
二,填空题(本题满分54分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.
7,若实数满足:,则 .
8,抛物线顶点为,焦点为,是抛物线上的动点,则的最大值为 .
9,计算 .
10,过直线:上的一点作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为,则椭圆的方程为 .
11,把一个长方体切割成个四面体,则的最小值是 .
12,将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列,
则 .
三,解答题(本题满分60分,每小题20分)
13,数列满足:;令
;求 .
14, 如图,的外心为,是的中点,直线交于,点分别是的外心与内心,若,
证明:为直角三角形.
15,若四位数的各位数码中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2007年9月23日上午(8:30-11:00)
考生注意:1,本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.
3,解题书写不要超出装订线.
4,不能使用计算器.

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