怎样证明开普勒第三行星定律
一般的中文科普书不会谈这条问题,所以就在「天文 Q&A」作答.
为方便说明,设下图的太阳只有一颗行星.太阳,行星和它们的共同质心 C 永远排成直线,行星以角速度 ω 围绕 C 旋转,太阳也以相同的角速度围绕 C 旋转.
动画:太阳与行星围绕共同质心旋转
http://forum.hkas.org.hk/web/Star_wobbling_animation.gif

行星的离心力 * = m a1 ω2,太阳对行星的引力 = G M m / a2,这两个力互相平衡才能保持行星的运转,因此
m a1 ω2 = G M m / a2
a1 ω2 = G M / a2 ----- (1)
同样道理,太阳的离心力 = M a2 ω2,行星对太阳的引力 = G M m / a2,这两个力互相平衡,因此
M a2 ω2 = G M m / a2
a2 ω2 = G m / a2 ----- (2)
式子 (1) + (2) 得 (a1 + a2) ω2 = G (M + m) / a2
ω2 = G (M + m) / a3
但 ω 又等於 2 π / T (T 是行星绕日周期),因此
(2 π / T)2 = G (M + m) / a3
a3 / T2 = G (M + m) / (4 π2)
M 比 m 大很多,所以 a3 / T2 G M / (4 π2) = 常数
即是证明了开普勒第三行星定律
实际上是先有开普勒第三行星定律,但当代人不明其理,后来牛顿才从开普勒第三行星定律和逆平方律 (inverse square law) 悟出万有引力定律,牛顿发现万有引力的经过请参阅
http://forum.hkas.org.hk/viewthread.php tid=4321&extra=page%3D5 (贴文 #3)
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* 离心力 (= 质量 x 轨道半径 x 角速度的平方) 在中学物理课程内,本文不再详述.
Kepler_3rd_law_proof.doc Alan Chu of 1 2010 Dec
+
a1
a2
a
太阳
(质量 M )
行星
(质量 m)
共同质心
center of mass
ω radian / s
ω
C