第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷
本卷共八题,满分160分.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能得分.有数字计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.填空题把答案填在题中的横线上,只要给出结果,不需写出求解的过程.
一、填空题.(本题共4小题,共25分)
1.图1所示的电阻丝网络,每一小段电阻同为r,两个端点A、B间等效电阻R1= .若在图1网络中再引入3段斜电阻丝,每一段电阻也为r,如图2 所示,此时A、B间等效电阻R2=
2.右图为开尔文滴水起电机示意图.从三通管左右两管口形成的水滴分别穿过铝筒A1、A2后滴进铝杯B1、B2,当滴了一段时间后,原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差.试分析其原理.图中铝筒A1用导线与铝杯B2相连;铝筒A2用导线与B1相连.
3.受迫振动的稳定状态由下式给出,,.其中,而为胁迫力,,其中是阻尼力.有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计,其中一条的固有振动角频率为,另外一条的固有振动角频率为,在汽车运行的过程中,司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7.设为小量,计算中可以略去,已知汽车轮子的直径为1m,则汽车的运行速度为 .
4.核潜艇中核的半衰期为年,衰变中有0.7%的概率成为核,同时放出一个高能光子,这些光子中的93%被潜艇钢板吸收.1981年,前苏联编号U137的核潜艇透射到艇外的高能光子被距核源(处理为点状)1.5m处的探测仪测得.仪器正入射面积为22cm2,效率为0.25%(每400个入射光子可产生一个脉冲讯号),每小时测得125个讯号.据上所述,可知核的平均寿命=年(),该核潜艇中的质量m=kg(保留两位有效数字).
二、(20分)如图所示,一内半径为R的圆筒(图中2R为其内直径)位于水平地面上.筒内放一矩形物.矩形物中的A、B是两根长度相等、质量皆为m的细圆棍,它们平行地固连在一质量可以忽略不计的,长为的矩形薄片的两端.初始时矩形物位于水平位置且处于静止状态,A、B皆与圆筒内表面接触,已知A、B与圆筒内表面间的静摩擦系数都等于1.
现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动,使A逐渐升高.
1.矩形物转过多大角度后,它开始与圆筒之间不再能保持相对静止?
答:只要求写出数值,不要求写出推导过程)
2.如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时,立即令圆筒停止转动.令表示A的中点和B的中点的连线与整直线之间的夹角,求此后等于多少度时,B相对于圆筒开始滑动.(要求写出必要的推导过程.最后用计算器对方程式进行数值求解,最终结果要求保留三位数字)
三、(17分)斯泰瓦—托尔曼(Stewart-Tolman)效应
1917年,斯泰瓦和托尔曼发现,一绕在圆柱上的闭合线圈,当该圆柱以一定角加速度绕轴旋转时,线圈中会有电流流过.
设有许多匝线圈,每匝线圈的半径为r,每匝线圈均用电阻为R的细金属导线绕成,线圈均匀地绕在一很长的玻璃圆柱上,圆柱的内部为真空.每匝线圈的位置用粘胶固定在圆柱上,单位长度的线圈匝数为n,包含每匝线圈的平面与圆柱的轴垂直.
从某一时刻开始,圆柱以角加速度绕其轴旋转.经过足够长时间后,求圆柱中心处的磁场的磁感应强度B.设电子的电量e和质量m为已知.
四、(20分)一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千.如图所示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹.当男孩处于站立姿势时,设秋千转轴到男孩质心的距离为;而当男孩处于下蹲姿势时,秋千转轴到男孩质心的距离为.设比值,即男孩站立与下蹲两种姿势时质心相对于秋千转轴到男孩质心的平均距离只变化大约7%.
为了使问题简化,假定秋千质量可以忽略,秋千的摆幅很小,男孩的质量总是集中在其质心上;同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B,E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够快,因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的.与此类似,另外两个下蹲过程(从C到D,从G到H)也被假定是瞬间过程.
需要求解的问题是:男孩要将秋千摆动幅度增加一倍,或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍,或最大角速度为原来的两倍),需要进行多少次(可以用分数表示)摆动才行.
五、(20分)关于齐明点的讨论
1.半径为R的透明球体,折射率为n,P为主轴上一点,位于球心左方处,如图所示.求证:从P点向右发出的任一条光线(不限于近轴光线)经球面折射后,将聚焦于一点,并求出该点Q的位置.P、Q称为齐明点.
2.齐明点概念常用于显微镜的物镜中,以增大显微镜入射光的孔径角.设某显微镜的接物镜(接物镜前方有光射入)是折射率为n1=1.5,半径为R1=3mm的半球,其平底面与物同浸在折射率与物镜材料相同的油中,物即位于一个齐明点上.

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