非线性电路实验 引言 非线性是在自然界广泛存在的自然规律,相对于我们熟悉的线性要复杂得多.随着物理学研究的不断深入,非线性问题逐渐被重视起来,现已出现了多个分支,混沌便是其中之一.混沌现象在生活中广泛存在,如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等[1]. 要直观地演示混沌现象,采用非线性电路是一个非常好的选择.能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]:1)有一个非线性元件,2)有一个用于耗散能量的电阻,3)有三个存储能量的元件.如图1所示的蔡氏电路(Chua's circuit)[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路,由华裔物理学家蔡绍棠(Leon O. Chua)教授于1983年提出并实现.近年来,非线性电路的研究领域有了长足进展,新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注.如Chen氏电路[6]、Colpitts振荡电路[7]、基于SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路[8],都能用于研究混沌现象,并有不同的应用领域. 实验原理 在众多的非线性电路中,蔡氏电路因其结构简单、现象明晰,成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择,大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被广泛应用于高校实验教学.蔡氏电路(如图一所示)的主要元件有可调电阻R(电路方程中以电导G=1/R做参数,以下方程求解过程都用G来表示,而涉及实验的内容采用R表示)、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr.它的运行状态可以用以下方程组来描述: (1) 其中U1为C1(或负阻Nr)两端的电压,U2为C2(或L)两端的电压,IL为通过L的电流,g(U)为非线性负阻的I-V特性函数,其表达式为: (2) 式中各参数和变量的具体意义间图3.从g(U)的表达式看出,g(U)分三段,且每段都是线性的,所以我们可以将求解分三个区间来进行.由于两侧区间基本对称,可以一并求解. 图1:蔡氏电路示意图 U1、U2、IL构成一个三维的状态空间,称为相空间,相空间的状态点记为.混沌实验仪中一般演示X点的相轨迹在U1-U2平面的二维投影,可用双踪示波器的X-Y模式来观察,即常说的李萨如图形. 在每个区间内,方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程: (3) 其中X(t)、b为三维矢量,A为三阶矩阵.方程(3)在时的解即为相空间的不动点XQ,.原方程组的解即可写为线性齐次方程的通解与不动点特解XQ的和.方程(3)的本征值方程为|λI-A|=0,若A存在三个本征值λ1、λ2、λ3,齐次方程的解即为: (4) 其中ξi为λi对应的本征向量,ci由初始状态X0决定. 在有些情况下,A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ±iω,方程的解可以写成: (5) 式中ξγ是实本征值对应的本征向量,ηr±iηi是共轭的复本征值对应的本征向量.(c、cr、cc由初始状态决定.综上所述,蔡氏电路方程组的解为: (6) 我们把实本征向量ξγ方向标记为Er,把ηr和ηi张成的平面记为Ec.齐次方程解的独立分量xr(t)在Er方向,xc(t)在平面Ec内.方程的解随着时间演化具有如下性质:如果γ<0,xr(t)指数衰减到0;如果γ>0,xr(t)沿着Er方向指数增长.由此可见,对于任何一条相轨迹X(t),Er方向上的分量恒正或恒负,所以它始终都无法穿越Ec平面(图1、2).如果σ>0且ω≠0,则xc(t)在Ec平面内螺旋离开不动点XQ;若σ<0,xc(t)在Ec平面内螺旋收缩到不动点XQ.这些性质在进行每个区域分析时都非常有用. 非线性负阻的结构[9]如图2所示,由两个封装在一起的运算放大器(双运算放大器集成电路FL353N)和6个定值电阻(R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω,精度1%)构成,输入电源电压±15V.理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性,被±E拆分为上中下三个区域,在各个区域都是线性函数,分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb,且满足Ga