线性方程组习题参考答案 P154, 1. 用消元法解下来线性方程组. (1) 解: ∴方程组的解是 k为任意数 (2) 解: 出现了(0,0,0,0,0,-1),无解 (3) 解: 有唯一解: x1=-8, x2=3, x3=6, x4=0 (4) 解: 得解: (5) 解: 出现了(0,0,0,0,-1),无解 (6) 解:一般解为 2. 把向量β表成向量α1,α2,α3,α4的线性组合. (1) 解:设β=x1α1+ x2α2+ x3α3+ x4α4,则(2) 解:设β=x1α1+ x2α2+ x3α3+ x4α4,则即β=α1-α3 3. 证明:如果向量组α1,α2,…, αr线性无关, 而向量组α1,α2,…, αr,β 线性相关,则β可由向量组α1,α2,…, αr线性表出. 证明:设k1, k2, ,k r, l不全为0,使若l=0, 则k1, ,k r也不全为0,而与α1,α2,…, αr线性无关矛盾. 所以l(0,即线性表出. 4. 设αi=(ai1,ai2,…,ain), i=1,2,…,n, 证明如果|aij|(0, 则α1,α2,…, αn线性无关. 证明:设x1α1+x2α2++xnαn=0,则 因为系数行列式,故上面方程组只有零解,于是α1,α2,αn线性无关. 5. 设t1,t2,…,tr是互不相同的数(r(n),证明αi=(1, ti, ti2,…,tin-1), i=1,2,…,r线性无关. 证明:添加tr+1,,tn, 使t1, t2,,tr , tr+1,,tn两两不同, 得向量组 αi=(1, tt, tt2,…,ttn-1) i=1,2,...,n. 由于α1,α2,,αn的分量作成一个Vandermonder行列式且不等于0,由上一题,α1,α2,,αr,,αn线性无关,于是它的任一部分组线性无关 6. 假设α1, α2,α3线性无关,证明β1=α2+α3,β2=α3+α1,β3=α1+α2线性无关. 证:设β1=α2+α3,β2=α3+α1,β3=α1+α2, 若x1β1+x2β2+x3β3=0,则即 (x2+x3)α1+(x3+x1)α2+(x1+x2)α3=0 由于α1, α2, α3线性无关得: ,该齐次线性方程组只有零解. ∴x1, x2, x3全为0,即β1, β2, β3线性无关. 注:无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关,α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1,线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s的秩为r, 证明向量组A的任意r个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组. 证明:设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr 任取A中的一个向量β,由于R(A)=r, 所以A中任意r+1个向量线性相关,有αj1,,αjr, β线性相关,由条件知 B线性无关,由临界定理,β可以由B线性表示,故B是极大无关组. 8. 设向量组(I): α1,α2,,α s的秩为r, αj1, αj2,, αjr是(I)中的r个向量,使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出,证明αj1, αj2,, α jr是(I)的极大无关组. 证明:设向量组(I)α1,α2,,αs,R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr是已给向量组,取(I)的极大无关组(III) αk1,αk2,…,αkr, 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)(R(II) (r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, α jr线性无关, 所以是(I)的极大无关组. 9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明:设A是一个n维向量组,A1是它的一个线性无关组, 1° 逐个检查A中的向量 2° a、若可以由向量组A1线性表示,则去掉,检查下一个α b、若不可以由向量组A1线性表示,则添加到A1中将A1扩充为A2,回到检查第1个向量,重复1°、2° 若干步后(∵有限步后,任意n+1个n维向量也相关,必含停止),得到A1,A2 ,…Ak, 而Ak不能再扩大,于是Ak是一个极大无关组,且A1(Ak. 10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关. (2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组. 解(1):∵α1与α2的分量不成比例,故α1与α2线性无关 (2):解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3. 考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量,∴增加一个分量后仍然线性无关.即α1, α2,α4线性无关. 再考虑α1, α2,α4,α5, 因为分量行列式 , 即α5=α1+α2+α4, 所以它的极大线性无关组是α1, α2,α4. 解法2. 由下式可知: α1, α2,α4为极大无关组.. 11. 用消元法求下列向量组的极大无关组和秩. (1) α1=(6,4,1,-1,2), α2=(1,0,2,3,-4), α3=(1,4,-9,-16,22), α4=(7,1,0,-1,3). 解: ∴R(α1, α2, α3, α4, α5)=3,且α2, α3, α4为一个极大无关组. ∴R(A)=3 (2) α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1, -1,2,0). 解:R(α1, α2, α3, α4)=3, α1, α2, α4是极大无关组. 12. 如果向量组(I)可由向量组(II)线性表出,则R(I)(R(II). 证: 设为分别为、的极大无关组,则有(,( ((表示两个向量组等价), 所以可由线性表出. 设含r个向量,含t个向量,因为线性无关,且可由线性表出,所以r≤t,即秩(I)≤秩(II) 13.已知 α1,α2,,αn是一组n维向量,可被它们线性表出,证明α1,α2,,αn线性无关. 证明:设αi1,αi2,,αir为α1,α2,,αn的极大线性无关组, 则有可由αi1,αi2,,αir线性表出,因为单位向量组线性无关,由(定理2推论),得n ≤ r≤n,故r=n, 即αi1,αi2,…,α ir为α1,α2,,α n本身,即证得α1,α2,, 线性无关 14.设α1,α2,,αn是一组n维向量,证明α1,α2,,αn线性无关的充要条件是任意n维向量可以被它们线性表出. 证明: 必要性. 设α1,α2,,αn线性无关,对任意一个n维向量α,由于n维空间的n+1个向量线性相关,所以α1,α2,,αn,α线性相关,所以α可由α1,α2,,αn线性表出. 充分性. 由13题可得. 15. 证明方程组对任何b1,b2,…,bn都有解的充要条件是系数行列式|aij|(0. 证明:""若系数行列式|aij|≠0,则由Cramer法则,对任何常数b1,b2,…,bn有唯一解. "",则原方程组为 其中β2, β3,…,βn为A的列向量组, ∵对任何都有解. 依次让,则得可由β1, β2,…,βn线性表出, 从而β1, β2,…,βn线性无关,即R (A)=n,由定理5,|A|≠0. 16. 已知α1, α2,,α r (I)与α1,αr, αr+1,,αs(II)有相同的秩,证明这两个向量组等价. 证明:对向量组α1, α2,,α r (I)及α1,αr, αr+1,,αs(II),有R(I)=R(II)=t,设αi1, αi2,, αit(III)为(I)的极大无关组; 则由于αi1, αi2,,αit线性无关,且为(II)部分组,由R(II)=t得,(III)也是(II)的极大无关组. 所以(III)((II), 而(III) ((I), 由等价的传递性得(I)与(II)等价. 17.证明, 若β1=α2+…+αr,β2=α1+α3+…+αr,, βr=α1+…+αr-1, 则(1,(2,…,(r与(1,(2,…,(r有相同的秩. 证明: ∵β1=α2+…+αr,β2=α1+α3+…+αr,, βr=α1+…+αr-1, 即向量组(1,(2,…,(r可由向量组(1,(2,…,(r线性表出. 又(= (1+(2+…+(r=(r-1)((1+(2+…+(r), , 即αi可以β1, β2, …,βr线性表示, 这两个向量组等价,秩必相同. 18.计算下列矩阵的秩. ① ∴R(A)=4. ② ∴R(A)=3. ③ ④ ∴R(A)=3. ⑤ ∴R(A)=5. 19. 讨论当,a,b取什么值时下列方程组有解并求解. (1) 解∵=; ∴当≠1时,有唯一解.. ∴当=-2时,三个方程解相加,得0=3(无解). ∴当=1时,变为一个方程x1+x2+x3=1即x1=1-x2-x3. x2 x3任取. (2) 解:∵系数解列式. 而≠0且≠1时,有唯一解:(用Cramer法则) . 而当=0时为无解. 当=1时为 (3) 解:系数行列式. 当b≠0且a≠1时,有唯一解.. 若b=0,无解. 若a=1, 化为 若b(1/2, 则方程组无解. 若b=1/2, 此时化为 20. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解. 解:(1) 即为自由未知量. 令= 得: (2) 即为基本,为自由未知量. 令,得. 即基础解系为和 (4) → 即令21. 用基础解系表示出第一题(1),(4),(6)题中线性方程组的全部解. 解: (1) 其导出组的基础解系为(=(1,1,0,1,-2), 特解为( 0=(1,0,0,0,-2). 其全部解为: (4) 基础解系为(1=(3,0,19,0,17,0), (2=(0,-13,0,-20,0,17), 其全部解为: x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=k1(1+k2( 2=(3k1,-13k2,19k1,-20k2,17k1,17k2), k为任意数. (6) 其导出组的基础解系为(=(5/6,-7/6,5/6,1), 特解为( 0=(1/6,1/6,1/6,0). 其全部解为:x=(x1,x2,x3,x4)=k(+( 0=(5k+1,-7k+1,5k+1,k), k为任意数. 22. a, b取什么值时,线性方程组有解,在有解的情形,求出一般解. 解: 由于方程组有解R(A)=R(), 故有解a=0, b=2. 此时,x1,x2为基础未知量, x3,x4,xr为自由未知量. 特解为( 0=(-2,3,0,0,0). 依次取 (x3,x4.x5)=(1,0,0)η1=(1,-2,1,0,0) (x3,x4.x5)=(0,1,0) 得导出组的基础解系为 η2=(1,-2,0,1,0) (x3,x4.x5)=(0,0,1)η3=(5,-6,0,0,1) 通解为 ( 0+k1η1+k2η2+k3η3 (k1,k2,k3为任意常数. 23. 解: → 因为R(A)=4, R()=5. R()=4. 故由有解判别定理,方程组有解R(A)=R() 有解时,即,矩阵化为最简阶梯→ 特解η0=(a1+a2+a3+a4, a2+a3+a4, a3+a4,0). 导出组基础系(只有一个自由求知数x5=1)为η=(1,1,1,1,1). 所以方程组的通解为η0+kη.k为任意的数. 24. 证明:与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系. 证明:设是某齐次方程组的基础解系,而是方程组的线性无关解向量组,且与等价.由于等价且都线性无关,必有s = t. 由传递性,方程的任一解可由线性表示,也可由线性表示.也是基础解系. 25. 设n元齐次线性方程组系数矩阵的秩为r, 证明方程组的任意n-r个线性无关的解都是一个基础解系. 证明: 设系数矩阵为A, 由于R(A)=r, 故基础解系含有n-r个向量η1,η2,…,ηn-r(r 0. 在f(x)的n个根x1,x2,..,xn中,所以的实根均大于零,而实多项式的复根成对出现,所以x1,x2,..,xn>0, 即|A|>0. 求出过点M1(1,0,0), M2(1,1,0), M3(1,1,1)和M4(0,1,1)的球面方 程. 解:设球面方程为(x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=R2(R是球的半径),用M1, M2, M3, M4代入方程,得,解得 因此所求的球面方程为(x()2+(y()2+(z()2=. 12.求出过点M1(0,0), M2(1,0), M3(2,1),M4(1,1) 和M5(1,4)的二次曲线方程. 解:设此二次曲线方程为 ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0, 它经过上述5个点,把各点代入方程求得a=f=0, b=-d, e=-c=2d, a,b,c不全为零(否则它不是二次曲线). 令b=1, 则有d=-1, c=-2, e=2. 因此所求的二次曲线方程为 x2-2xy-x+2y =0. 求下列曲线的直角坐标方程: (1) x=t2-t+1, y=2t2+t-3; (2) 解:(1) , 因此直角坐标方程为=0. (2)答案:所求曲线的直角坐标方程为 求结式: (1) (2) xn +x+1与x2-3x+2 (3) (x-1)n与xn+1. 解: (1) (2) (3)