《高等数学Ⅳ(经济类)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码:110408,110080 课程名称:高等数学Ⅳ(经济类) 英文名称:Advanced Mathematics Ⅳ 课程类别:专业基础课 学时:153 学分:8.5 适用对象: 经济类学生 考核方式:期末考试占总成绩的70%,平时成绩占总成绩的30% 先修课程:无二、课程简介 中文简介 高等数学在经贸各专业的教学中是一门重要的基础理论课,它以培养适应于建设有中国特色社会主义所需要的经贸专门人才为目标,通过这门课程的学习,使学生系统地获得微积分、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本知识、基本理论和常用的运算方法;培养学生较为熟悉的运算能力、抽象思维能力、逻辑思维能力,从而使学生受到数学分析方法和应用它解决经济管理、社会科学等实际问题的初步训练,为学习后继课程和进一步扩大数学知识面打下必要的基础. 英文简介 Advanced Mathematics Ⅳ is a lesson for all economic courses in our college,it is an important basic theory lesson for us to educate the complex talented person who can fit the modern construct and continual development of science technology. Through studying this course,it can make the students get the basic knowledge,the basic theories and the basic ways about the differential integral,infinite series and ordinary differential equations;it can educate the students' abilities on abstract thinking,logic reasoning and creating,and it can set the necessary mathematic basis for the students to study the next courses and get forward the mathematic knowledge. All of the most important is that makes the students have the ability of analyzing and solving all kinds of actuarial questions by the special ways of Advanced Mathematics' thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 高等数学是我校经济类专业的一门必修课,它是为了培养适应现代化建设和科学技术不断发展的复合型人才而开设的一门重要基础理论课,通过该课程的学习,使学生系统地获得微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识、基本理论和基本方法,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及创新能力,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.更重要的是要使学生能运用所掌握的高等数学所特有的思维方法和处理问题的思想去分析、解决现实世界中各种实际问题. 四、教学内容及要求 第一章 函数、极限与连续 (一)目的与要求 1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法; 2. 理解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性; 3. 理解复合函数、反函数和分段函数的概念; 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念; 5. 会建立简单应用问题的函数关系,熟悉几种常用经济函数; 6. 了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念; 7. 了解无穷小的概念和基本性质,掌握无穷小的阶的比较方法;了解无穷大的概念及其与无穷小的关系; 8. 了解极限的性质与极限存在的两个准则,熟练掌握极限的四则运算法则,熟练掌握两个重要极限的应用; 9. 理解函数连续性的概念(包括左、右连续)与函数间断的概念,掌握间断点的分类; 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理)及其简单应用. (二)教学内容 第一节 函数 主要内容 集合,区间,邻域,函数的概念及其表示法,函数关系的建立,函数的特性. 基本概念和知识点 集合,区间,邻域的定义,函数的概念及其表示法,分段函数的概念,函数关系的建立,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3. 问题与应用(能力要求) 在实际问题中能准确地写出函数表达式. 第二节 初等函数 1. 主要内容 反函数、复合函数、初等函数的概念. 2. 基本概念和知识点 反函数、复合函数、初等函数的概念.基本初等函数. 问题与应用(能力要求) 掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念. 第三节 常用经济函数 1. 主要内容 单利与复利,现值与终值,经济分析常见的函数. 2. 基本概念和知识点 单利与复利的计算,现值与终值,市场的均衡,需求函数与供给函数,成本函数,收入函数,利润函数. 3. 问题与应用(能力要求) 熟悉市场的均衡,需求函数与供给函数,成本函数,收入函数,利润函数. 第四节 数列的极限 主要内容 数列极限的定义与性质. 基本概念和知识点 数列极限的定义; 收敛极限的性质:唯一性、有界性、保号性. 问题与应用 理解数列极限的概念. 第五节 函数的极限 主要内容 函数极限的定义与性质. 基本概念和知识点 函数极限(包括左、右极限)的概念; 函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性. 问题与应用 理解函数极限的概念. 第六节 无穷小与无穷大 1.主要内容 无穷小与无穷大的概念. 2.基本概念和知识点 无穷小与无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系. 3.问题与应用 理解无穷小与无穷大的概念. 第七节 极限的运算法则 1.主要内容 极限的运算法则. 2.基本概念和知识点 极限的四则运算法则. 3.问题与应用 熟练掌握极限的运算法则. 第八节 极限存在准则 两个重要极限 1.主要内容 极限存在准则,两个重要极限. 2.基本概念和知识点 极限存在准则,两个重要极限. 3.问题与应用 熟练掌握两个重要极限及其应用. 第九节 无穷小的比较 1.主要内容 无穷小的比较的概念,无穷小的比较的性质. 2.基本概念和知识点 高阶无穷小、低阶无穷小、等价无穷小的概念;等价无穷小的性质. 3.问题与应用 掌握利用等价无穷小求极限的方法. 第十节 函数的连续与间断 1.主要内容 函数连续性与函数间断的概念. 2.基本概念和知识点 连续性(包括左、右连续)的概念,函数间断点的概念. 3.问题与应用 理解函数连续性与函数间断点的概念. 第十一节 连续函数的运算与性质 1.主要内容 连续函数的运算,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质. 2.基本概念和知识点 连续函数的和、差、积、商的连续性,初等函数的连续性,有界性定理与最大值最小值定理,介值定理与零点定理. 3.问题与应用 了解连续函数的性质和初等函数的连续性;了解闭区间上连续函数的性质. (三) 课后练习 P10:1,2,3,4,8,9,10; P17:1,2,7, 10; P24:5,10;P30:1,5; P36:1,4;P41:1,2,6; P46:1,2,6,7;P53:1,2,3,4,5; P57:1,2,3,4,7;P63:1,2,5,6,12; P69:1,4,8. (四) 教学方法与手段 教学方法:启发式教学,从建立函数开始,到极限与连续概念,逐步展开. 教学手段:采用多媒体. 第二章 导数与微分 (一)目的与要求 1. 理解导数的概念,了解导数的几何意义与经济意义,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式; 3. 熟练掌握导数的四则运算法则; 4. 熟练掌握反函数求导法则; 5. 熟练掌握复合函数求导法则; 6. 掌握隐函数求导法则与对数求导法则; 7. 了解高阶导数的概念,会求二阶、三阶导数及一些简单函数的n阶导数; 8. .会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数; 9. 了解微分的概念,可导与可微,导数与微分的关系,以及一阶微分形式的不变性,熟练掌握求微分的方法. (二)教学内容 第一节 导数概念 1.主要内容 ?导数的概念,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系. 2.基本概念和知识点 导数的概念; 导数的几何意义(切线和法线),函数的可导性与连续性之间的关系. 3.问题与应用 理解导数的几何意义,会用导数描述一些常用的物理量. 第二节 函数的求导法则 1.主要内容 导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的求导法则. 2.基本概念和知识点 导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的求导法则. 3.问题与应用 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法. 第三节 高阶导数 1.主要内容 高阶导数的概念,计算简单函数的高阶导数. 2.基本概念和知识点 高阶导数的概念 3.问题与应用 了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数. 第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数 1.主要内容 隐函数的导数,参数方程所确定函数的导数. 2.基本概念和知识点 隐函数、参数方程的概念; 隐函数的导数,参数方程所确定函数的导数. 3.问题与应用 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数. 第五节 函数的微分 主要内容 微分的概念,微分的运算法则,微分在近似计算中的应用. 2.基本概念和知识点 微分的概念,微分的运算法则,利用微分进行近似计算. 3.问题与应用 掌握微分的运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算 中的应用. (三)课后练习 P83:1,5,8,12,14,16; P90:1,2,4,6,7,9,18; P95:1,6,9;P97:1,3,7,8; P122:4,6,8,9. (四)教学方法与手段 教学方法:利用数学建模的思想,从具体实例,抽象到导数的定义,理 论联系实际. 教学手段:采用多媒体,讲解与练习相结合. 第三章 中值定理与导数的应用 (一)目的与要求 1、理解并会用罗尔定理,拉格朗日中值定理; 2、了解并会用柯西中值定理和*泰勒公式; 3、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用; 4、会用导数判断函数的凹凸性,会求函数的拐点,会求水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形; 5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法; 6、熟悉边际分析和函数弹性的的概念,并能用其分析简单的经济问题. (二)教学内容 第一节 微分中值定理 1.主要内容 罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理. 2.基本概念和知识点 罗尔定理,拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明与应用举例. 3.问题与应用 理解并会运用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解并会用柯西中值定理. 第二节 洛必达法则 1.主要内容 洛必达法则. 2.基本概念和知识点 洛必达法则的应用. 3.问题与应用 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. *第三节 泰勒公式 1.主要内容 泰勒公式. 2.基本概念和知识点 泰勒公式. 3.问题与应用 了解并会用泰勒公式. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 1.主要内容 函数的单调性的判定法,曲线的凹凸性及拐点. 2.基本概念和知识点 曲线凹(凸)的概念;函数的单调性的判别,曲线的凹凸性的判别. 3.问题与应用 掌握用导数判断函数的单调性、图形的凹凸性,会求函数图形的拐点. 第五节 函数的极值与最大值最小值 1.主要内容 函数的极值及其求法,函数的最大值和最小值问题. 2.基本概念和知识点 函数的极值概念;求函数的极值,求函数的最大值和最小值. 3.问题与应用 掌握函数极值的概念及其求法,函数最大(小)值的求法及简单应用. 第六节 函数图形的描绘 1.主要内容 渐近线,函数图形的描绘. 2.基本概念和知识点 水平、铅直和斜渐近线,函数图形描绘的步骤. 3.问题与应用 会求水平、铅直渐近线,了解函数图形描绘步骤,会画出函数图形. 第七节 导数在经济中的应用 1.主要内容 边际和函数弹性的的概念. 2.基本概念和知识点 边际和函数弹性的的概念,用其分析简单的经济问题. 3.问题与应用 熟悉边际分析和函数弹性的的概念,并能用其分析简单的经济问题. (三)课后练习 P118:1,2,4,8,14;P124:1,2; P130:3,6;P135: 2,3,4,5,7,9; P142:1,2,3,10;P147:1,2; P154:4,5,7,9,10,13,15. (四)教学方法与手段 教学方法:理论联系实际,用导数工具去解决现实中的极值、最 大值和最小值问题. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第四章 不定积分 (一)目的与要求 1. 理解原函数的概念、理解不定积分的概念; 2. 练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式; 3. 熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法; 4. 会求有理函数的不定积分. (二)教学内容 第一节 不定积分的概念与性质 1.主要内容 ?原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质,基本积分公式. 2.基本概念和知识点 ?原函数和不定积分的定义,不定积分的基本性质,基本积分公式,用不定积分的基本性质与基本积分公式求不定积分. 3.问题与应用 理解原函数的概念和不定积分的概念,熟练掌握用不定积分的基本性质与基本积分公式求不定积分的方法. 第二节 换元积分法 1.主要内容 第一类换元法,第二类换元法. 2.基本概念和知识点 第一类换元法(凑微分法),第二类换元法(变量代换). 3.问题与应用 在基本积分公式的基础上,熟练掌握计算不定积分的两类换元法. 第三节 分部积分法 1.主要内容 分部积分公式. 2.基本概念和知识点 分部积分公式的应用. 3.问题与应用 熟练掌握计算不定积分的分部积分法. 第四节 有理函数的积分 1.主要内容 有理函数的积分方法. 2.基本概念和知识点 有理函数的积分方法,三角函数的有理式和简单无理函数的不定积分. 3.问题与应用 了解并会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分. (三)课后练习 P166:1,2,3;P173:1,2,3; P179:1,2,4,5;P188:1,2. (四)教学方法与手段 教学方法:启发式教学.从基本的求导公式,倒推出基本的积分公式; 再把基本的积分公式,应用到不定积分的换元法. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第五章 定积分 (一)目的与要求 1. 理解定积分的概念和性质; 2. 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,熟悉牛顿—莱布尼茨公式; 3. 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法; 4. 了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的基本方法; 5. 会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积,会利用定积分求解一些简单的经济应用问题. (二)教学内容 第一节 定积分的概念 1.主要内容 定积分的概念. 2.基本概念和知识点 定积分的定义,定积分的几何与经济意义. 3.问题与应用 理解定积分的定义,会用定积分表达一些几何量与简单的经济量. 第二节 定积分的性质 1.主要内容 定积分的性质. 2.基本概念和知识点 定积分的性质,定积分中值定理. 3.问题与应用 理解定积分的性质,利用定积分的性质估计出积分值的大致范围. 第三节 微积分的基本公式 1.主要内容 积分上限的函数及其导数,牛顿—莱布尼茨公式. 2.基本概念和知识点 求变上限定积分的导数,牛顿—莱布尼茨公式. 3.问题与应用 理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式. 第四节 定积分的换元法和分部积分法 1.主要内容 定积分的换元积分法与分部积分法. 2.基本概念和知识点 定积分的换元积分法,定积分的分部积分法. 3.问题与应用 掌握用换元法与分部积分法来计算定积分. 第五节 广义积分 1.主要内容 无穷限的广义积分,无界函数的广义积分的概念. 2.基本概念和知识点 无穷限的广义积分,无界函数的广义积分的定义;根据定义,计算两 类广义积分. 3.问题与应用 了解广义积分的概念并会计算广义积分. 第六节 定积分的几何应用 1.主要内容 定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积. 2.基本概念和知识点 定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积. 3.问题与应用 理解定积分的元素法,能用元素法表达几何中的一些问题;掌握定积 分在几何上的应用,能用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积. 第七节 积分在经济分析中的应用 1.主要内容 积分在经济分析中的应用. 2.基本概念和知识点 用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量. 3.问题与应用 掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增 量的方法. (三)课后练习 P200:1,3,4;P204:2,3,5; P210:1,2,3,6,7,9,11,14; P218:3,4,5,6,14; P224:1,3,5;P233:1,3,5,7,10,12,14,18,21; P242:2,3,5,6. (四)教学方法与手段 教学方法:比较法.以微积分的基本公式作为桥梁,把定积分和不定积分的计算方法结合起来. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第六章 多元函数微积分 (一)目的与要求 1、了解空间坐标系的有关概念,平面与曲面方程,会求两点之间的距离; 2、了解平面上点的邻域,区域以及其边界点,内点等的概念; 3、了解多元函数的概念,了解二元函数的表示法与几何意义; 4、了解二元函数的极限与连续的直观意义; 5、理解多元函数的偏导数与全微分的概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法,掌握求多元函数偏导数以及隐函数的偏导数的方法; 6、了解二元函数极值与条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单二元函数的最大值与最小值,会求解一些简单的应用题; 7、了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法,会计算无界区域上的较简单的二重积分. (二)教学内容 第一节 空间解析几何简介 1.主要内容 空间直角坐标系,空间两点间的距离,平面与曲面方程简介. 2.基本概念和知识点 空间直角坐标系的概念;空间两点间的距离公式;平面方程;球面方程;柱面方程;二次曲面方程. 3.问题与应用 将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的,介绍各种常用的曲面,为学习重积分、线面积分打下基础. 学生应该会写出常用的曲面方程,并对已知曲面方程能知道所表示曲 面的形状. 第二节 多元函数的基本概念 1.主要内容 多元函数的概念,二元函数的极限,二元函数的连续性,有界闭域上 连续函数的性质. 2.基本概念和知识点 平面区域,多元函数的定义,二元函数的几何意义,二元函数极限的 定义与求法,二元函数的连续性定义,有界闭域上连续函数的性质. 3.问题与应用 掌握多元函数的有关概念. 第三节 偏导数 1.主要内容 偏导数的有关概念和计算. 2.基本概念和知识点 偏导数的定义,偏导数的计算,高阶偏导数, 3.问题与应用 掌握偏导数的有关概念和利用公式与法则计算初等函数的偏导数. 第四节 全微分 1.主要内容 全微分的有关概念. 2.基本概念和知识点 全微分存在的必要条件和充分条件,*全微分在近似计算中的应用. 3.问题与应用 掌握全微分的相关概念和意义. 第五节 复合函数微分法与隐函数微分法 1.主要内容 多元函数的复合函数微分法;多元函数的隐函数微分法. 2.基本概念和知识点 多元函数的复合函数微分法的连锁规则;全微分形式不变性;多元函 数的隐函数微分法. 3.问题与应用 掌握多元复合函数导数的计算,一个方程确定的隐函数求导公式,熟 练计算隐函数的导函数. 第六节 多元函数的极值及其求法 1.主要内容 多元函数的极值及其求法;多元函数条件极值的概念及其求法;多元 函数的最大值、最小值及其简单应用. 2.基本概念和知识点 多元函数的极值及其求法,多元函数极值的必要条件,二元函数极值 的充分条件,多元函数条件极值的概念及其求法(拉格朗日乘数法), 多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 3.问题与应用 掌握二元函数极值的相关概念和计算. 第七节 二重积分的概念与性质 1.主要内容 二重积分的概念与性质. 2.基本概念和知识点 二重积分的定义,几何意义与性质. 3.问题与应用 掌握二重积分几何意义与性质. 第八节 在直角坐标系下计算二重积分 1.主要内容 利用直角坐标计算二重积分. 2.基本概念和知识点 二重积分化为累次积分. 3.问题与应用 掌握二重积分化为累次积分的方法. 第八节 在极坐标系下计算二重积分 1.主要内容 利用极坐标计算二重积分. 2.基本概念和知识点 二重积分化为极坐标形式,极坐标形式的二重积分的计算. 3.问题与应用 掌握二重积分化为极坐标形式的二重积分的方法. (三)课后练习 P8:7,8,9,10,11,13,14,16,17; P13:1,3,4,5,6; P19:1,3,5,6;P23:1,3,4,9; P30:4,5,8,9,10,11,13,18,20; P42:1,3,9; P47:2,3;P56:1,2,3,4,6,13; P61:1,2,3,4,5,6,9. (四)教学方法与手段 教学方法:与一元函数微积分相应的概念对比学习,巩固一元函数微积分基础,加深对多元微积分的理解.培养学生应用多元函数极值建立数学模型的训练. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第七章 无穷级数 (一)目的与要求 1、了解级数的收敛、发散以及收敛级数的和等概念; 2、掌握几何级数,级数的收敛与发散的条件,知道调和级数的敛散性; 3、掌握收敛级数的必要条件及收敛级数的基本性质; 4、熟练掌握正项级数的比较判别法、达朗贝尔(比值)判别法与柯西(根值)判别法; 5、掌握交错级数的莱布尼茨判别法; 6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,掌握绝对收敛与条件收敛的判别法; 7、了解幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念,会求收敛半径和收敛域; 8、了解幂级数在收敛区间内的基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分),会求一些简单幂级数的和函数; 9、掌握及的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数. (二)教学内容 第一节 常数项级数的概念及性质 1.主要内容 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的定义,级数的基本性质及收敛的必要条件. 2.基本概念和知识点 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,级数的基本性质及收敛的必要条件. 3.问题与应用(能力要求) 用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性. 第二节 正项级数的审敛法 1.主要内容 正项级数收敛性的判别方法. 2.基本概念和知识点 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法与根值判别法. 3.问题与应用(能力要求) 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法与根值判别法的正确选择. 第三节 一般常数项级数 1.主要内容 交错级数的莱布尼兹判别法,绝对收敛与条件收敛的概念. 2.基本概念和知识点 交错级数的定义,交错级数的莱布尼兹判别法,任意项级数的定义,绝对收敛与条件收敛的概念. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一般常数项级数收敛性的判别方法. 第四节 幂级数 1.主要内容 幂级数的收敛域的构造及求法. 2.基本概念和知识点 幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念,幂级数在收敛区间内的基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分). 3.问题与应用(能力要求) 会求收敛半径和收敛域;会求一些简单幂级数的和函数. 第五节 函数展开成幂级数 1.主要内容 函数展开成幂级数的充要条件,函数展开成幂级数的间接方法. 2.基本概念和知识点 函数展开成幂级数的充要条件,泰勒级数,麦克劳林级数,函数展开成幂级数的间接方法,近似计算中的误差估计. 3.问题与应用(能力要求) 掌握及的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数. (三)课后练习 P75:2,3,4;P83:1,2,3; P88:1;P96:1,2,3; P106:2,3. (四)教学方法与手段 教学方法:本章以课堂教学为主,加强训练学生正确运用判别正项级数敛散性的不同审敛法. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第八章 微分方程与差分方程 (一)目的与要求 1. 了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念; 2. 掌握变量可分离的方程,齐次方程和一阶线性方程的求解方法; 3. 了解可降阶的高阶微分方程的解法; 4. 掌握二阶常系数齐次线性方程和*自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法; 5. *了解差分与差分方程及其通解与特解等概念; 6. *了解一阶常系数线性差分方程的求解方法; 7. 会应用微分方程和*差分方程求解一些简单的经济应用问题. (二)教学内容 第一节 常微分方程的基本概念 1.主要内容 微分方程的有关概念. 2.基本概念和知识点 常微分方程的概念,微分方程的解、通解、初始条件与初值问题和特解. 3.问题与应用(能力要求) 了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念. 第二节 可分离变量的微分方程 1.主要内容 可分离变量的微分方程、齐次方程. 2.基本概念和知识点 可分离变量的微分方程、齐次方程的判别与求解方法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握变量可分离的方程,齐次方程和一阶线性方程的求解方法. 第三节 一阶线性微分方程 1.主要内容 一阶线性微分方程,贝努利方程. 2.基本概念和知识点 一阶线性微分方程与贝努利方程的定义,判别与求解方法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一阶线性微分方程的形式,熟练掌握其解法;掌握利用变量代换解微分方程的方法,了解贝努利方程的形式及解法. 第四节 可降阶的高阶微分方程 1.主要内容 可降阶的高阶微分方程. 2.基本概念和知识点 型,型与型高阶微分方程的解法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握型,型微分方程的解法;了解型微分方程的形式及解法. 第五节 二阶线性微分方程解的结构 1.主要内容 齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式. 2.基本概念和知识点 二阶线性微分方程举例,二阶齐次线性微分方程的定义与通解的性质,二阶非齐次线性微分方程的定义与通解的性质. 3.问题与应用(能力要求) 掌握二阶线性方程解的结构,齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式. 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 1.主要内容 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,通解的求法. 2.基本概念和知识点 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及对应于特征根的三种情况,通解的三种不同形式. 3.问题与应用(能力要求) 掌握根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的特征根的三种不同情况,得到三种不同形式的通解方法. *第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程求解 1.主要内容 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法. 2.基本概念和知识点 自由项为,(是一个次的多项式)与自由项为,或的二阶常系数非齐次线性微分的解法. 3.问题与应用(能力要求) 重点掌握自由项为,(是一个次的多项式)的二阶常系数非齐次线性微分的解法. *第八节 数学建模 —微分方程应用举例 1.主要内容 衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题与追踪问题. 2.基本概念和知识点 衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题与追踪问题的方程的建立与求解. 3.问题与应用(能力要求) 重点掌握衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题的方程的建立与求解,以及解对实践的指导意义. *第九节 差分方程 1.主要内容 差分与差分方程及其通解与特解等概念. 2.基本概念和知识点 差分与差分方程及其通解与特解等概念,一阶常系数线性差分方程的求解方法,应用差分方程求解一些简单的经济应用问题. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法. (三)课后练习 P115:1,2,6;P123:1,2,3,4; P128:1,2,3;P133:1,2; P136:1,3;P140:1,2; P147:1,2;P165:2,5,6,7,8. (四)教学方法与手段 教学方法:启发式教学,重视学生的微分方程建模能力的训练. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 五、各教学环节学时分配 教学环节 教学时数 课程内容 讲课习题课讨论课实验 其他教学环节 小计第一章 15 3 18 第二章 14 2 16 第三章 15 3 18 第四章 13 4 17 第五章 18 3 21 第六章 24 4 28 第七章 14 2 16 第八章 15 4 19 合计 128 25 153 六、推荐教材和教学参考资源 教材: 吴赣昌,大学数学立体化教材:微积分(经济类),中国人民大学出版社,2006年3月. 教学参考资源: 1. 吴赣昌,大学数学多媒体教学系统:微积分(经济类),中国人民大学出版社,中国人民大学音像出版社,2006年6月. 2. 朱来义,高等学校经济管理学科数学基础:微积分,高等教育出版社,2002年7月. 3. 赵树塬,经济应用数学基础:微积分,中国人民大学出版社,2002年7月. 4. 章栋恩,许晓革,高等数学实验,高等教育出版社,2004年7月. 5. A.D.Andrew, G.L.Cain等(俞正光,章纪民译),用Mathematica做微积分实验,清华大学出版社,2003年9月. 6. 刘长文、杨逢建主编《高等数学》,中国农业出版社出版. 7. 同济大学数学教研室编《高等数学》,高等教育出版社. 8. 张爱国、杨逢建主编《高等数学学习方法指导》,机械工业出版社出版. 9. 学习网站 http://202.192.88.200/jxzy/gaoshu/head.htm 七、其他说明 大纲中打星号的部分,教师可根据实际情况选择是否讲解. 大纲修订人:陈新明 修订日期:2007.4.9 大纲审定人:严鸿鸣 审定日期:2007.4.11
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《高等数学Ⅳ(经济类)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码:110408,110080 课程名称:高等数学Ⅳ(经济类) 英文名称:Advanced Mathematics Ⅳ 课程类别:专业基础课 学时:153 学分:8.5 适用对象: 经济类学生 考核方式:期末考试占总成绩的70%,平时成绩占总成绩的30% 先修课程:无二、课程简介 中文简介 高等数学在经贸各专业的教学中是一门重要的基础理论课,它以培养适应于建设有中国特色社会主义所需要的经贸专门人才为目标,通过这门课程的学习,使学生系统地获得微积分、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本知识、基本理论和常用的运算方法;培养学生较为熟悉的运算能力、抽象思维能力、逻辑思维能力,从而使学生受到数学分析方法和应用它解决经济管理、社会科学等实际问题的初步训练,为学习后继课程和进一步扩大数学知识面打下必要的基础. 英文简介 Advanced Mathematics Ⅳ is a lesson for all economic courses in our college,it is an important basic theory lesson for us to educate the complex talented person who can fit the modern construct and continual development of science technology. Through studying this course,it can make the students get the basic knowledge,the basic theories and the basic ways about the differential integral,infinite series and ordinary differential equations;it can educate the students' abilities on abstract thinking,logic reasoning and creating,and it can set the necessary mathematic basis for the students to study the next courses and get forward the mathematic knowledge. All of the most important is that makes the students have the ability of analyzing and solving all kinds of actuarial questions by the special ways of Advanced Mathematics' thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 高等数学是我校经济类专业的一门必修课,它是为了培养适应现代化建设和科学技术不断发展的复合型人才而开设的一门重要基础理论课,通过该课程的学习,使学生系统地获得微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识、基本理论和基本方法,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及创新能力,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.更重要的是要使学生能运用所掌握的高等数学所特有的思维方法和处理问题的思想去分析、解决现实世界中各种实际问题. 四、教学内容及要求 第一章 函数、极限与连续 (一)目的与要求 1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法; 2. 理解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性; 3. 理解复合函数、反函数和分段函数的概念; 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念; 5. 会建立简单应用问题的函数关系,熟悉几种常用经济函数; 6. 了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念; 7. 了解无穷小的概念和基本性质,掌握无穷小的阶的比较方法;了解无穷大的概念及其与无穷小的关系; 8. 了解极限的性质与极限存在的两个准则,熟练掌握极限的四则运算法则,熟练掌握两个重要极限的应用; 9. 理解函数连续性的概念(包括左、右连续)与函数间断的概念,掌握间断点的分类; 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理)及其简单应用. (二)教学内容 第一节 函数 主要内容 集合,区间,邻域,函数的概念及其表示法,函数关系的建立,函数的特性. 基本概念和知识点 集合,区间,邻域的定义,函数的概念及其表示法,分段函数的概念,函数关系的建立,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3. 问题与应用(能力要求) 在实际问题中能准确地写出函数表达式. 第二节 初等函数 1. 主要内容 反函数、复合函数、初等函数的概念. 2. 基本概念和知识点 反函数、复合函数、初等函数的概念.基本初等函数. 问题与应用(能力要求) 掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念. 第三节 常用经济函数 1. 主要内容 单利与复利,现值与终值,经济分析常见的函数. 2. 基本概念和知识点 单利与复利的计算,现值与终值,市场的均衡,需求函数与供给函数,成本函数,收入函数,利润函数. 3. 问题与应用(能力要求) 熟悉市场的均衡,需求函数与供给函数,成本函数,收入函数,利润函数. 第四节 数列的极限 主要内容 数列极限的定义与性质. 基本概念和知识点 数列极限的定义; 收敛极限的性质:唯一性、有界性、保号性. 问题与应用 理解数列极限的概念. 第五节 函数的极限 主要内容 函数极限的定义与性质. 基本概念和知识点 函数极限(包括左、右极限)的概念; 函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性. 问题与应用 理解函数极限的概念. 第六节 无穷小与无穷大 1.主要内容 无穷小与无穷大的概念. 2.基本概念和知识点 无穷小与无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系. 3.问题与应用 理解无穷小与无穷大的概念. 第七节 极限的运算法则 1.主要内容 极限的运算法则. 2.基本概念和知识点 极限的四则运算法则. 3.问题与应用 熟练掌握极限的运算法则. 第八节 极限存在准则 两个重要极限 1.主要内容 极限存在准则,两个重要极限. 2.基本概念和知识点 极限存在准则,两个重要极限. 3.问题与应用 熟练掌握两个重要极限及其应用. 第九节 无穷小的比较 1.主要内容 无穷小的比较的概念,无穷小的比较的性质. 2.基本概念和知识点 高阶无穷小、低阶无穷小、等价无穷小的概念;等价无穷小的性质. 3.问题与应用 掌握利用等价无穷小求极限的方法. 第十节 函数的连续与间断 1.主要内容 函数连续性与函数间断的概念. 2.基本概念和知识点 连续性(包括左、右连续)的概念,函数间断点的概念. 3.问题与应用 理解函数连续性与函数间断点的概念. 第十一节 连续函数的运算与性质 1.主要内容 连续函数的运算,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质. 2.基本概念和知识点 连续函数的和、差、积、商的连续性,初等函数的连续性,有界性定理与最大值最小值定理,介值定理与零点定理. 3.问题与应用 了解连续函数的性质和初等函数的连续性;了解闭区间上连续函数的性质. (三) 课后练习 P10:1,2,3,4,8,9,10; P17:1,2,7, 10; P24:5,10;P30:1,5; P36:1,4;P41:1,2,6; P46:1,2,6,7;P53:1,2,3,4,5; P57:1,2,3,4,7;P63:1,2,5,6,12; P69:1,4,8. (四) 教学方法与手段 教学方法:启发式教学,从建立函数开始,到极限与连续概念,逐步展开. 教学手段:采用多媒体. 第二章 导数与微分 (一)目的与要求 1. 理解导数的概念,了解导数的几何意义与经济意义,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式; 3. 熟练掌握导数的四则运算法则; 4. 熟练掌握反函数求导法则; 5. 熟练掌握复合函数求导法则; 6. 掌握隐函数求导法则与对数求导法则; 7. 了解高阶导数的概念,会求二阶、三阶导数及一些简单函数的n阶导数; 8. .会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数; 9. 了解微分的概念,可导与可微,导数与微分的关系,以及一阶微分形式的不变性,熟练掌握求微分的方法. (二)教学内容 第一节 导数概念 1.主要内容 ?导数的概念,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系. 2.基本概念和知识点 导数的概念; 导数的几何意义(切线和法线),函数的可导性与连续性之间的关系. 3.问题与应用 理解导数的几何意义,会用导数描述一些常用的物理量. 第二节 函数的求导法则 1.主要内容 导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的求导法则. 2.基本概念和知识点 导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的求导法则. 3.问题与应用 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法. 第三节 高阶导数 1.主要内容 高阶导数的概念,计算简单函数的高阶导数. 2.基本概念和知识点 高阶导数的概念 3.问题与应用 了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数. 第四节 隐函数及参数方程所确定函数的导数 1.主要内容 隐函数的导数,参数方程所确定函数的导数. 2.基本概念和知识点 隐函数、参数方程的概念; 隐函数的导数,参数方程所确定函数的导数. 3.问题与应用 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数. 第五节 函数的微分 主要内容 微分的概念,微分的运算法则,微分在近似计算中的应用. 2.基本概念和知识点 微分的概念,微分的运算法则,利用微分进行近似计算. 3.问题与应用 掌握微分的运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算 中的应用. (三)课后练习 P83:1,5,8,12,14,16; P90:1,2,4,6,7,9,18; P95:1,6,9;P97:1,3,7,8; P122:4,6,8,9. (四)教学方法与手段 教学方法:利用数学建模的思想,从具体实例,抽象到导数的定义,理 论联系实际. 教学手段:采用多媒体,讲解与练习相结合. 第三章 中值定理与导数的应用 (一)目的与要求 1、理解并会用罗尔定理,拉格朗日中值定理; 2、了解并会用柯西中值定理和*泰勒公式; 3、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用; 4、会用导数判断函数的凹凸性,会求函数的拐点,会求水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形; 5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法; 6、熟悉边际分析和函数弹性的的概念,并能用其分析简单的经济问题. (二)教学内容 第一节 微分中值定理 1.主要内容 罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理. 2.基本概念和知识点 罗尔定理,拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明与应用举例. 3.问题与应用 理解并会运用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解并会用柯西中值定理. 第二节 洛必达法则 1.主要内容 洛必达法则. 2.基本概念和知识点 洛必达法则的应用. 3.问题与应用 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. *第三节 泰勒公式 1.主要内容 泰勒公式. 2.基本概念和知识点 泰勒公式. 3.问题与应用 了解并会用泰勒公式. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 1.主要内容 函数的单调性的判定法,曲线的凹凸性及拐点. 2.基本概念和知识点 曲线凹(凸)的概念;函数的单调性的判别,曲线的凹凸性的判别. 3.问题与应用 掌握用导数判断函数的单调性、图形的凹凸性,会求函数图形的拐点. 第五节 函数的极值与最大值最小值 1.主要内容 函数的极值及其求法,函数的最大值和最小值问题. 2.基本概念和知识点 函数的极值概念;求函数的极值,求函数的最大值和最小值. 3.问题与应用 掌握函数极值的概念及其求法,函数最大(小)值的求法及简单应用. 第六节 函数图形的描绘 1.主要内容 渐近线,函数图形的描绘. 2.基本概念和知识点 水平、铅直和斜渐近线,函数图形描绘的步骤. 3.问题与应用 会求水平、铅直渐近线,了解函数图形描绘步骤,会画出函数图形. 第七节 导数在经济中的应用 1.主要内容 边际和函数弹性的的概念. 2.基本概念和知识点 边际和函数弹性的的概念,用其分析简单的经济问题. 3.问题与应用 熟悉边际分析和函数弹性的的概念,并能用其分析简单的经济问题. (三)课后练习 P118:1,2,4,8,14;P124:1,2; P130:3,6;P135: 2,3,4,5,7,9; P142:1,2,3,10;P147:1,2; P154:4,5,7,9,10,13,15. (四)教学方法与手段 教学方法:理论联系实际,用导数工具去解决现实中的极值、最 大值和最小值问题. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第四章 不定积分 (一)目的与要求 1. 理解原函数的概念、理解不定积分的概念; 2. 练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式; 3. 熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法; 4. 会求有理函数的不定积分. (二)教学内容 第一节 不定积分的概念与性质 1.主要内容 ?原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质,基本积分公式. 2.基本概念和知识点 ?原函数和不定积分的定义,不定积分的基本性质,基本积分公式,用不定积分的基本性质与基本积分公式求不定积分. 3.问题与应用 理解原函数的概念和不定积分的概念,熟练掌握用不定积分的基本性质与基本积分公式求不定积分的方法. 第二节 换元积分法 1.主要内容 第一类换元法,第二类换元法. 2.基本概念和知识点 第一类换元法(凑微分法),第二类换元法(变量代换). 3.问题与应用 在基本积分公式的基础上,熟练掌握计算不定积分的两类换元法. 第三节 分部积分法 1.主要内容 分部积分公式. 2.基本概念和知识点 分部积分公式的应用. 3.问题与应用 熟练掌握计算不定积分的分部积分法. 第四节 有理函数的积分 1.主要内容 有理函数的积分方法. 2.基本概念和知识点 有理函数的积分方法,三角函数的有理式和简单无理函数的不定积分. 3.问题与应用 了解并会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分. (三)课后练习 P166:1,2,3;P173:1,2,3; P179:1,2,4,5;P188:1,2. (四)教学方法与手段 教学方法:启发式教学.从基本的求导公式,倒推出基本的积分公式; 再把基本的积分公式,应用到不定积分的换元法. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第五章 定积分 (一)目的与要求 1. 理解定积分的概念和性质; 2. 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,熟悉牛顿—莱布尼茨公式; 3. 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法; 4. 了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的基本方法; 5. 会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积,会利用定积分求解一些简单的经济应用问题. (二)教学内容 第一节 定积分的概念 1.主要内容 定积分的概念. 2.基本概念和知识点 定积分的定义,定积分的几何与经济意义. 3.问题与应用 理解定积分的定义,会用定积分表达一些几何量与简单的经济量. 第二节 定积分的性质 1.主要内容 定积分的性质. 2.基本概念和知识点 定积分的性质,定积分中值定理. 3.问题与应用 理解定积分的性质,利用定积分的性质估计出积分值的大致范围. 第三节 微积分的基本公式 1.主要内容 积分上限的函数及其导数,牛顿—莱布尼茨公式. 2.基本概念和知识点 求变上限定积分的导数,牛顿—莱布尼茨公式. 3.问题与应用 理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式. 第四节 定积分的换元法和分部积分法 1.主要内容 定积分的换元积分法与分部积分法. 2.基本概念和知识点 定积分的换元积分法,定积分的分部积分法. 3.问题与应用 掌握用换元法与分部积分法来计算定积分. 第五节 广义积分 1.主要内容 无穷限的广义积分,无界函数的广义积分的概念. 2.基本概念和知识点 无穷限的广义积分,无界函数的广义积分的定义;根据定义,计算两 类广义积分. 3.问题与应用 了解广义积分的概念并会计算广义积分. 第六节 定积分的几何应用 1.主要内容 定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积. 2.基本概念和知识点 定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积. 3.问题与应用 理解定积分的元素法,能用元素法表达几何中的一些问题;掌握定积 分在几何上的应用,能用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积. 第七节 积分在经济分析中的应用 1.主要内容 积分在经济分析中的应用. 2.基本概念和知识点 用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量. 3.问题与应用 掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增 量的方法. (三)课后练习 P200:1,3,4;P204:2,3,5; P210:1,2,3,6,7,9,11,14; P218:3,4,5,6,14; P224:1,3,5;P233:1,3,5,7,10,12,14,18,21; P242:2,3,5,6. (四)教学方法与手段 教学方法:比较法.以微积分的基本公式作为桥梁,把定积分和不定积分的计算方法结合起来. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第六章 多元函数微积分 (一)目的与要求 1、了解空间坐标系的有关概念,平面与曲面方程,会求两点之间的距离; 2、了解平面上点的邻域,区域以及其边界点,内点等的概念; 3、了解多元函数的概念,了解二元函数的表示法与几何意义; 4、了解二元函数的极限与连续的直观意义; 5、理解多元函数的偏导数与全微分的概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法,掌握求多元函数偏导数以及隐函数的偏导数的方法; 6、了解二元函数极值与条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单二元函数的最大值与最小值,会求解一些简单的应用题; 7、了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法,会计算无界区域上的较简单的二重积分. (二)教学内容 第一节 空间解析几何简介 1.主要内容 空间直角坐标系,空间两点间的距离,平面与曲面方程简介. 2.基本概念和知识点 空间直角坐标系的概念;空间两点间的距离公式;平面方程;球面方程;柱面方程;二次曲面方程. 3.问题与应用 将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的,介绍各种常用的曲面,为学习重积分、线面积分打下基础. 学生应该会写出常用的曲面方程,并对已知曲面方程能知道所表示曲 面的形状. 第二节 多元函数的基本概念 1.主要内容 多元函数的概念,二元函数的极限,二元函数的连续性,有界闭域上 连续函数的性质. 2.基本概念和知识点 平面区域,多元函数的定义,二元函数的几何意义,二元函数极限的 定义与求法,二元函数的连续性定义,有界闭域上连续函数的性质. 3.问题与应用 掌握多元函数的有关概念. 第三节 偏导数 1.主要内容 偏导数的有关概念和计算. 2.基本概念和知识点 偏导数的定义,偏导数的计算,高阶偏导数, 3.问题与应用 掌握偏导数的有关概念和利用公式与法则计算初等函数的偏导数. 第四节 全微分 1.主要内容 全微分的有关概念. 2.基本概念和知识点 全微分存在的必要条件和充分条件,*全微分在近似计算中的应用. 3.问题与应用 掌握全微分的相关概念和意义. 第五节 复合函数微分法与隐函数微分法 1.主要内容 多元函数的复合函数微分法;多元函数的隐函数微分法. 2.基本概念和知识点 多元函数的复合函数微分法的连锁规则;全微分形式不变性;多元函 数的隐函数微分法. 3.问题与应用 掌握多元复合函数导数的计算,一个方程确定的隐函数求导公式,熟 练计算隐函数的导函数. 第六节 多元函数的极值及其求法 1.主要内容 多元函数的极值及其求法;多元函数条件极值的概念及其求法;多元 函数的最大值、最小值及其简单应用. 2.基本概念和知识点 多元函数的极值及其求法,多元函数极值的必要条件,二元函数极值 的充分条件,多元函数条件极值的概念及其求法(拉格朗日乘数法), 多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 3.问题与应用 掌握二元函数极值的相关概念和计算. 第七节 二重积分的概念与性质 1.主要内容 二重积分的概念与性质. 2.基本概念和知识点 二重积分的定义,几何意义与性质. 3.问题与应用 掌握二重积分几何意义与性质. 第八节 在直角坐标系下计算二重积分 1.主要内容 利用直角坐标计算二重积分. 2.基本概念和知识点 二重积分化为累次积分. 3.问题与应用 掌握二重积分化为累次积分的方法. 第八节 在极坐标系下计算二重积分 1.主要内容 利用极坐标计算二重积分. 2.基本概念和知识点 二重积分化为极坐标形式,极坐标形式的二重积分的计算. 3.问题与应用 掌握二重积分化为极坐标形式的二重积分的方法. (三)课后练习 P8:7,8,9,10,11,13,14,16,17; P13:1,3,4,5,6; P19:1,3,5,6;P23:1,3,4,9; P30:4,5,8,9,10,11,13,18,20; P42:1,3,9; P47:2,3;P56:1,2,3,4,6,13; P61:1,2,3,4,5,6,9. (四)教学方法与手段 教学方法:与一元函数微积分相应的概念对比学习,巩固一元函数微积分基础,加深对多元微积分的理解.培养学生应用多元函数极值建立数学模型的训练. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第七章 无穷级数 (一)目的与要求 1、了解级数的收敛、发散以及收敛级数的和等概念; 2、掌握几何级数,级数的收敛与发散的条件,知道调和级数的敛散性; 3、掌握收敛级数的必要条件及收敛级数的基本性质; 4、熟练掌握正项级数的比较判别法、达朗贝尔(比值)判别法与柯西(根值)判别法; 5、掌握交错级数的莱布尼茨判别法; 6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,掌握绝对收敛与条件收敛的判别法; 7、了解幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念,会求收敛半径和收敛域; 8、了解幂级数在收敛区间内的基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分),会求一些简单幂级数的和函数; 9、掌握及的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数. (二)教学内容 第一节 常数项级数的概念及性质 1.主要内容 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的定义,级数的基本性质及收敛的必要条件. 2.基本概念和知识点 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,级数的基本性质及收敛的必要条件. 3.问题与应用(能力要求) 用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性. 第二节 正项级数的审敛法 1.主要内容 正项级数收敛性的判别方法. 2.基本概念和知识点 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法与根值判别法. 3.问题与应用(能力要求) 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法与根值判别法的正确选择. 第三节 一般常数项级数 1.主要内容 交错级数的莱布尼兹判别法,绝对收敛与条件收敛的概念. 2.基本概念和知识点 交错级数的定义,交错级数的莱布尼兹判别法,任意项级数的定义,绝对收敛与条件收敛的概念. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一般常数项级数收敛性的判别方法. 第四节 幂级数 1.主要内容 幂级数的收敛域的构造及求法. 2.基本概念和知识点 幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念,幂级数在收敛区间内的基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分). 3.问题与应用(能力要求) 会求收敛半径和收敛域;会求一些简单幂级数的和函数. 第五节 函数展开成幂级数 1.主要内容 函数展开成幂级数的充要条件,函数展开成幂级数的间接方法. 2.基本概念和知识点 函数展开成幂级数的充要条件,泰勒级数,麦克劳林级数,函数展开成幂级数的间接方法,近似计算中的误差估计. 3.问题与应用(能力要求) 掌握及的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数. (三)课后练习 P75:2,3,4;P83:1,2,3; P88:1;P96:1,2,3; P106:2,3. (四)教学方法与手段 教学方法:本章以课堂教学为主,加强训练学生正确运用判别正项级数敛散性的不同审敛法. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 第八章 微分方程与差分方程 (一)目的与要求 1. 了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念; 2. 掌握变量可分离的方程,齐次方程和一阶线性方程的求解方法; 3. 了解可降阶的高阶微分方程的解法; 4. 掌握二阶常系数齐次线性方程和*自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法; 5. *了解差分与差分方程及其通解与特解等概念; 6. *了解一阶常系数线性差分方程的求解方法; 7. 会应用微分方程和*差分方程求解一些简单的经济应用问题. (二)教学内容 第一节 常微分方程的基本概念 1.主要内容 微分方程的有关概念. 2.基本概念和知识点 常微分方程的概念,微分方程的解、通解、初始条件与初值问题和特解. 3.问题与应用(能力要求) 了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念. 第二节 可分离变量的微分方程 1.主要内容 可分离变量的微分方程、齐次方程. 2.基本概念和知识点 可分离变量的微分方程、齐次方程的判别与求解方法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握变量可分离的方程,齐次方程和一阶线性方程的求解方法. 第三节 一阶线性微分方程 1.主要内容 一阶线性微分方程,贝努利方程. 2.基本概念和知识点 一阶线性微分方程与贝努利方程的定义,判别与求解方法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一阶线性微分方程的形式,熟练掌握其解法;掌握利用变量代换解微分方程的方法,了解贝努利方程的形式及解法. 第四节 可降阶的高阶微分方程 1.主要内容 可降阶的高阶微分方程. 2.基本概念和知识点 型,型与型高阶微分方程的解法. 3.问题与应用(能力要求) 掌握型,型微分方程的解法;了解型微分方程的形式及解法. 第五节 二阶线性微分方程解的结构 1.主要内容 齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式. 2.基本概念和知识点 二阶线性微分方程举例,二阶齐次线性微分方程的定义与通解的性质,二阶非齐次线性微分方程的定义与通解的性质. 3.问题与应用(能力要求) 掌握二阶线性方程解的结构,齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式. 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 1.主要内容 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,通解的求法. 2.基本概念和知识点 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及对应于特征根的三种情况,通解的三种不同形式. 3.问题与应用(能力要求) 掌握根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的特征根的三种不同情况,得到三种不同形式的通解方法. *第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程求解 1.主要内容 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法. 2.基本概念和知识点 自由项为,(是一个次的多项式)与自由项为,或的二阶常系数非齐次线性微分的解法. 3.问题与应用(能力要求) 重点掌握自由项为,(是一个次的多项式)的二阶常系数非齐次线性微分的解法. *第八节 数学建模 —微分方程应用举例 1.主要内容 衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题与追踪问题. 2.基本概念和知识点 衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题与追踪问题的方程的建立与求解. 3.问题与应用(能力要求) 重点掌握衰变问题,Logistic方程,价格调整问题,人才分配问题的方程的建立与求解,以及解对实践的指导意义. *第九节 差分方程 1.主要内容 差分与差分方程及其通解与特解等概念. 2.基本概念和知识点 差分与差分方程及其通解与特解等概念,一阶常系数线性差分方程的求解方法,应用差分方程求解一些简单的经济应用问题. 3.问题与应用(能力要求) 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法. (三)课后练习 P115:1,2,6;P123:1,2,3,4; P128:1,2,3;P133:1,2; P136:1,3;P140:1,2; P147:1,2;P165:2,5,6,7,8. (四)教学方法与手段 教学方法:启发式教学,重视学生的微分方程建模能力的训练. 教学手段:采用多媒体教学,讲解与练习相结合. 五、各教学环节学时分配 教学环节 教学时数 课程内容 讲课习题课讨论课实验 其他教学环节 小计第一章 15 3 18 第二章 14 2 16 第三章 15 3 18 第四章 13 4 17 第五章 18 3 21 第六章 24 4 28 第七章 14 2 16 第八章 15 4 19 合计 128 25 153 六、推荐教材和教学参考资源 教材: 吴赣昌,大学数学立体化教材:微积分(经济类),中国人民大学出版社,2006年3月. 教学参考资源: 1. 吴赣昌,大学数学多媒体教学系统:微积分(经济类),中国人民大学出版社,中国人民大学音像出版社,2006年6月. 2. 朱来义,高等学校经济管理学科数学基础:微积分,高等教育出版社,2002年7月. 3. 赵树塬,经济应用数学基础:微积分,中国人民大学出版社,2002年7月. 4. 章栋恩,许晓革,高等数学实验,高等教育出版社,2004年7月. 5. A.D.Andrew, G.L.Cain等(俞正光,章纪民译),用Mathematica做微积分实验,清华大学出版社,2003年9月. 6. 刘长文、杨逢建主编《高等数学》,中国农业出版社出版. 7. 同济大学数学教研室编《高等数学》,高等教育出版社. 8. 张爱国、杨逢建主编《高等数学学习方法指导》,机械工业出版社出版. 9. 学习网站 http://202.192.88.200/jxzy/gaoshu/head.htm 七、其他说明 大纲中打星号的部分,教师可根据实际情况选择是否讲解. 大纲修订人:陈新明 修订日期:2007.4.9 大纲审定人:严鸿鸣 审定日期:2007.4.11