2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题(副卷) 学科、专业名称:数学学科、基础数学 应用数学 概率论与数理统计等专业 研究方向:各专业研究方向 考试科目名称:810高等代数 考生注意:所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分. 一 填空题(共9小题44分,每空4分) 1 级行列式等于_ 2 设是一个级方阵,是级单位矩阵,且,则______. 3 设是中全体对称矩阵作成的数域上的一个线性空间,则的维数为 ,一组基为 . 4 给出的两组基和:,.则基到的过渡矩阵为 .若线性变换在基下的矩阵为,则在基下的矩阵为 . 5 设是数域上的一个3维线性空间,是的一组基,若上的一个线性函数满足,则= 6 已知方阵的初等因子组为,则的Jordan标准形是 . 7 "代数基本定理"的内容是_ 8 设,都是级正定矩阵,则中为正定矩阵的是 . 9 正交矩阵的实特征值为 . 二(15分)设是数域上的一个不可约多项式,若|(+),且|,则|且|.其中,是数域上的多项式. 三(15分)线性方程组当为何值时方程组有: 唯一解,并求其解; 无穷多解,给出解的表达式; 无解. 四(15分)设1求的全部特征值; 2 对的每个特征值,求的属于特征值的特征子空间的维数和一组基; 3 求正交矩阵,使是对角矩阵,并给出此对角矩阵. 五(15分)设是数域上的一个n维线性空间,若有线性变换与向量使得,但. 1 证明线性无关; 2 证明在某基下的矩阵是 六(15分)1 设,证明秩=秩=秩. 2 设是实对称矩阵,,证明. 七(15分)已知矩阵是数域上的一个级方阵,如果存在上的一个级可逆方阵,使得为对角矩阵,那么称在上可对角化.分别判断能否在实数域上和复数域上可对角化,并给出理由. 八(16分)用表示实数域上次数小于4的一元多项式组成的集合,它是一个欧几里得空间,内积为.设是由零次多项式及零多项式组成的子空间,求以及它上的一个基. 考试科目: 高等代数 共页,第页