也谈初三学生运算能力和猜想能力的培养 无锡市张泾中学:李天香 邮编:214194 作为一名数学教师,不仅要教会学生如何解题,更要教会学生如何用数学的思想和方法思考问题和解决问题,而作为一名初三的数学教师,更肩负着中考时"合格率"和"优秀率"的双重压力.所以如何高效地上好初三复习课,以及立足基础、兼顾两头,从而有效地提高"合格率"和"优秀率"成了每个初三数学教师的追求.我有幸参与了2010年无锡市的数学中考阅卷工作,批阅的是第19题计算: ∣-1∣+,.众所周知,计算题在中考中属于运算能力考查,但批阅时五花八门的解题过程和答案,真是令人大开眼界,从中也可看出现代中学生的运算能力的现状堪忧.我今年又留任初三,并且教了两个班,联系自己的教学实践,我认为不论是在中考中还是在今后的学习中要提高学生的数学学习的整体水平,关键在于培养学生的运算能力和猜想能力. 一、运算能力的培养策略 在九年制义务教育下,学生没有了升学的压力,小部分学生无心学习,而计算器的普及,又使得大部分学生养成了依赖性,连最简单的个位数的加减都在使用计算器,长久以来的结果就是学生的运算能力不断下降.在数学中考中,计算基本上贯穿整个考试过程,其中计算题更是属于运算能力考查题,可以这样说,对于大部分学生来说计算题做得好与差就决定了他们在考试中发挥得好与差,而计算题做得好与差关键取决于学生计算能力是否具备. 我现在任教的两个初三班,不管是在以前的新授课还是在现阶段的总复习中,针对实际情况,我从以下三个方面着手培养学生的计算能力. 1.笔算为主,计算器为辅 为了摆脱学生对计算器的依赖,我要求他们在平时的运算中不能使用计算器(数据较大的除外),完全靠笔算,计算器只能作为辅助,用来检验.一开始,学生确实很不习惯,也经常算错和抱怨,做的作业也是漏洞百出.而我会把一些典型的错误题目拿出来和大家一起纠正,一段时间下来,学生也逐步适应了,运算能力也得到了初步的提高. 2.注重计算过程,更注重检验 从教九年,我一贯秉持的教学态度就是认真踏实做好每一件事,尤其是计算不能跳步骤,因为历来的教训就是跳步骤容易出错.例如计算,小部分学生还是会利用计算器写成原式=4-1+3+=6+,不会分母有理化的学生就空着.而我经常要求学生做计算题不要跳步骤,先要把每个式子正确"翻译"出来,再进行下一步运算.此题完整解答是:原式=4-1+.方程的运算都可以用代入法检验,即使是代数式的运算,也可以用代入法检验.如计算,可以取一组符合题意的的值代入原式,同时代入化简以后的式子,看结果是否相同.这个方法对于部分运算能力一般的学生是非常有利的.一开始我让他们每次做题都要把检验写在旁边,慢慢地他们自然而然会在草稿纸上检验.目前,两个班级的学生只有极个别不过关了. 3.学会考试,反复检验 每次考试前,我都会说这样一段话:"学会考试,学会放弃,得到该得的分数,即使你不是聪明绝顶,你也一样可以考好,可以超长发挥!"得到该得的分数,特别是成绩一般的学生,也就是基础题要做好,计算题要认真做,反复检验,保证做对,这才是正确的考试策略. 反思:我任教的两个班,尤其是不当班主任的那一个班,根据实际情况,以基础为抓手重点培养学生的计算能力.经过一个多学期的努力,这个班的整体水平有了较大的提高. 二、猜想能力的培养策略 《全日制义务教育数学课程标准》明确规定:数学课程内容的学习,强调通过数学活动发展学生的数感、符号感、空间观察、统计观察、以及应用意识和推理能力.而推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想…可见培养学生的数学猜想能力也是新课标的要求.因此对学生猜想能力的培养是十分重要和必要的. 我们有相当一部分分学生,在面临一些难题时,经常是不肯动脑而空白着,久而久之就养成了一种习惯,而有一小部分学生(尤其是在考试时)在面临一些中等难度或较难题目时往往无从下手,一道题想了二三十分钟也毫无进展,放弃又不情愿,结果往往是前面的基础题没有检查,后面的难题没有来得及做,分数出来,后悔无比.所以不管是平时还是考试,不管是好学生还是学困生,学会猜想对解题还是有很大帮助的.那么如何来培养学生的猜想能力呢?我尝试着从以下三个方面来着手的. 1.依据直觉猜想 直觉是指直接的觉察力,即通常所说的一眼就可看出问题的结果、本质或解决问题的方法.这种猜想比较适合于一些较难的填空题选择题,选择题或证明题.如图:在锐角中,,的平分线交于点分别是和上的动点,则的最小值是_ 分析:题目中只有一个已知角45°和一条线段AB=,很容易想到等腰直角,直觉猜想要么就等于AB=,要么AB作为等腰直角的斜边,直角边就是4,所以猜想的答案为或4.会的学生会通过角平分线的性质及两点之间线段最短可得到=4,而即使不会的学生通过猜想成功的概率也有1/2.所以学会直觉猜想,一举两得,既提高了学生考题的命中率,又让学生具备了直觉猜想能力. 2.根据解题经验猜想 数学中很多题目在形式上及解决思路和发方法上都是类似的,学生认真读题后,我经常让学生先回忆和思考以往解类似题目思路和方法,再慢慢类比解题.例如:在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交于两点. (1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求的长. 分析:根据以往的解题经验结合图形,(1)中两条线段或两个角的关系一般是相等即=,而(2)中根据图形和已知条件也可以直观猜想是菱形,(3)中学生已记住120°的等腰的三边之比是1:1:,且由(2)可知四边形ABCD是菱形,猜想AE=BE是一份的腰长,只要求出AE就可以求出DE,而AE就等于,所以DE=2-.当然这只是猜想每一个小题的答案,中考中结论也是有分数的,能做出猜想总比空白着或连题目都不看要好.具体解答还要联系以前所学的知识,全等的判定方法,等式的性质,菱形的判定方法,解直角三角形等等.这题还属于中等难度的题目,而在一些难度较大的几何题中,如常见的问线段的乘积是否是一个定值,而结果一般是一个定值,要得到线段的乘积一般是由相似后对应边成比例得到的;在动点类探究型问题中求面积S与时间t的函数关系式基本上是分类讨论,画出对应的图形,得到几个相应的分段函数,往往是2-4种情况;再比如动点问题中也经常出现t取何值时,某三个点构成的是等腰,这类题目也是属于分类讨论,由任意两边相等,得出关于t的方程,求出相应的解,当然还要检验得到的解是否符合题意,这是常规解法,如果灵活一点可能还可以运用相似或三角函数,等腰的三线合一或面积法等解决问题.实质上中考当中的一些较难的大题目无非是我们所学过的知识的串联和综合应用,学生掌握了这些知识点后,在解题时能积极大胆猜想结论,想想解决这个问题时应该用哪个知识点,这个思路和方法行不通时再换一个思路和方法,在思考中否定错误的方法和思维,不断提高自己的思维能力和解题能力. 3.运用逆向思维(倒推法)和尝试法猜想 有时学生对题目确实是一点头绪都没有,那么不妨从结论出发,运用逆向思维(倒推法)一步步推得要满足的条件,或用尝试的方法去解题. 如图:正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转,边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N.(1)求证:OM=ON;(2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连结PM,若正方形的边长为12,且PM=5,试求的长. 分析:由以往的解题经验可知要证明OM=ON,,常用的方法是证明它们所在的全等,即证明AOM≌BON,而由正方形的性质很容易证得,AOM≌BON(SAS),所以OM=ON,.(2)要求AM的长,解题思路:尝试①寻找与AM相等的线段,能否直接求出,由(1)可推得AM=BN,但无法直接求出,尝试②AM 是Rt 的一直角边,能否用勾股定理结合方程求出,设AM=x,则BN=x,只要把AP也表示出来,已知条件是PM=5,由图猜想若PN=PM=5,则AP=12-x-5=7-x, 则可列出方程,x2+(7-x)2=25解得x=3或x=4,所以只要证明PN=PM,而结合(1)和正方形的性质可证得MOP≌NOP,所以MP=NP=5 有的题目还不止一两种解题方法.当然对于这类较难的题目,中等学生只要求能解决第(1)题,而一小部分学生能在解题过程中通过这样的逆向思维,间接猜想尝试等方法的逐步训练中,也渐渐能摸索到解决这类题目的方法,从而让他们体验到"条条道路通罗马"的真理,感受"原来我也能解决难题"的成功和喜悦. 反思:经过一个多学期的潜移默化的训练,令人值得欣慰的是大部分学生填空和选择已动脑肯去猜想,证明题即使不会证明也会把猜想的结论写上(不管正确与否),这都是一种进步,更有几个好学生在每天一练的难题中表现出显著的进步,由一开始只解第(1)题或第(2)题到现在能解第(3)第(4)题,甚至全部做对,面对难题不再望而却步,而是"我能做,我会做",肯花时间去思考探索讨论和质疑,而老师的鼓励和肯定更加强了他们解决问题的信心.
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更新时间：2014-08-02
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也谈初三学生运算能力和猜想能力的培养 无锡市张泾中学:李天香 邮编:214194 作为一名数学教师,不仅要教会学生如何解题,更要教会学生如何用数学的思想和方法思考问题和解决问题,而作为一名初三的数学教师,更肩负着中考时"合格率"和"优秀率"的双重压力.所以如何高效地上好初三复习课,以及立足基础、兼顾两头,从而有效地提高"合格率"和"优秀率"成了每个初三数学教师的追求.我有幸参与了2010年无锡市的数学中考阅卷工作,批阅的是第19题计算: ∣-1∣+,.众所周知,计算题在中考中属于运算能力考查,但批阅时五花八门的解题过程和答案,真是令人大开眼界,从中也可看出现代中学生的运算能力的现状堪忧.我今年又留任初三,并且教了两个班,联系自己的教学实践,我认为不论是在中考中还是在今后的学习中要提高学生的数学学习的整体水平,关键在于培养学生的运算能力和猜想能力. 一、运算能力的培养策略 在九年制义务教育下,学生没有了升学的压力,小部分学生无心学习,而计算器的普及,又使得大部分学生养成了依赖性,连最简单的个位数的加减都在使用计算器,长久以来的结果就是学生的运算能力不断下降.在数学中考中,计算基本上贯穿整个考试过程,其中计算题更是属于运算能力考查题,可以这样说,对于大部分学生来说计算题做得好与差就决定了他们在考试中发挥得好与差,而计算题做得好与差关键取决于学生计算能力是否具备. 我现在任教的两个初三班,不管是在以前的新授课还是在现阶段的总复习中,针对实际情况,我从以下三个方面着手培养学生的计算能力. 1.笔算为主,计算器为辅 为了摆脱学生对计算器的依赖,我要求他们在平时的运算中不能使用计算器(数据较大的除外),完全靠笔算,计算器只能作为辅助,用来检验.一开始,学生确实很不习惯,也经常算错和抱怨,做的作业也是漏洞百出.而我会把一些典型的错误题目拿出来和大家一起纠正,一段时间下来,学生也逐步适应了,运算能力也得到了初步的提高. 2.注重计算过程,更注重检验 从教九年,我一贯秉持的教学态度就是认真踏实做好每一件事,尤其是计算不能跳步骤,因为历来的教训就是跳步骤容易出错.例如计算,小部分学生还是会利用计算器写成原式=4-1+3+=6+,不会分母有理化的学生就空着.而我经常要求学生做计算题不要跳步骤,先要把每个式子正确"翻译"出来,再进行下一步运算.此题完整解答是:原式=4-1+.方程的运算都可以用代入法检验,即使是代数式的运算,也可以用代入法检验.如计算,可以取一组符合题意的的值代入原式,同时代入化简以后的式子,看结果是否相同.这个方法对于部分运算能力一般的学生是非常有利的.一开始我让他们每次做题都要把检验写在旁边,慢慢地他们自然而然会在草稿纸上检验.目前,两个班级的学生只有极个别不过关了. 3.学会考试,反复检验 每次考试前,我都会说这样一段话:"学会考试,学会放弃,得到该得的分数,即使你不是聪明绝顶,你也一样可以考好,可以超长发挥!"得到该得的分数,特别是成绩一般的学生,也就是基础题要做好,计算题要认真做,反复检验,保证做对,这才是正确的考试策略. 反思:我任教的两个班,尤其是不当班主任的那一个班,根据实际情况,以基础为抓手重点培养学生的计算能力.经过一个多学期的努力,这个班的整体水平有了较大的提高. 二、猜想能力的培养策略 《全日制义务教育数学课程标准》明确规定:数学课程内容的学习,强调通过数学活动发展学生的数感、符号感、空间观察、统计观察、以及应用意识和推理能力.而推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想…可见培养学生的数学猜想能力也是新课标的要求.因此对学生猜想能力的培养是十分重要和必要的. 我们有相当一部分分学生,在面临一些难题时,经常是不肯动脑而空白着,久而久之就养成了一种习惯,而有一小部分学生(尤其是在考试时)在面临一些中等难度或较难题目时往往无从下手,一道题想了二三十分钟也毫无进展,放弃又不情愿,结果往往是前面的基础题没有检查,后面的难题没有来得及做,分数出来,后悔无比.所以不管是平时还是考试,不管是好学生还是学困生,学会猜想对解题还是有很大帮助的.那么如何来培养学生的猜想能力呢?我尝试着从以下三个方面来着手的. 1.依据直觉猜想 直觉是指直接的觉察力,即通常所说的一眼就可看出问题的结果、本质或解决问题的方法.这种猜想比较适合于一些较难的填空题选择题,选择题或证明题.如图:在锐角中,,的平分线交于点分别是和上的动点,则的最小值是_ 分析:题目中只有一个已知角45°和一条线段AB=,很容易想到等腰直角,直觉猜想要么就等于AB=,要么AB作为等腰直角的斜边,直角边就是4,所以猜想的答案为或4.会的学生会通过角平分线的性质及两点之间线段最短可得到=4,而即使不会的学生通过猜想成功的概率也有1/2.所以学会直觉猜想,一举两得,既提高了学生考题的命中率,又让学生具备了直觉猜想能力. 2.根据解题经验猜想 数学中很多题目在形式上及解决思路和发方法上都是类似的,学生认真读题后,我经常让学生先回忆和思考以往解类似题目思路和方法,再慢慢类比解题.例如:在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交于两点. (1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求的长. 分析:根据以往的解题经验结合图形,(1)中两条线段或两个角的关系一般是相等即=,而(2)中根据图形和已知条件也可以直观猜想是菱形,(3)中学生已记住120°的等腰的三边之比是1:1:,且由(2)可知四边形ABCD是菱形,猜想AE=BE是一份的腰长,只要求出AE就可以求出DE,而AE就等于,所以DE=2-.当然这只是猜想每一个小题的答案,中考中结论也是有分数的,能做出猜想总比空白着或连题目都不看要好.具体解答还要联系以前所学的知识,全等的判定方法,等式的性质,菱形的判定方法,解直角三角形等等.这题还属于中等难度的题目,而在一些难度较大的几何题中,如常见的问线段的乘积是否是一个定值,而结果一般是一个定值,要得到线段的乘积一般是由相似后对应边成比例得到的;在动点类探究型问题中求面积S与时间t的函数关系式基本上是分类讨论,画出对应的图形,得到几个相应的分段函数,往往是2-4种情况;再比如动点问题中也经常出现t取何值时,某三个点构成的是等腰,这类题目也是属于分类讨论,由任意两边相等,得出关于t的方程,求出相应的解,当然还要检验得到的解是否符合题意,这是常规解法,如果灵活一点可能还可以运用相似或三角函数,等腰的三线合一或面积法等解决问题.实质上中考当中的一些较难的大题目无非是我们所学过的知识的串联和综合应用,学生掌握了这些知识点后,在解题时能积极大胆猜想结论,想想解决这个问题时应该用哪个知识点,这个思路和方法行不通时再换一个思路和方法,在思考中否定错误的方法和思维,不断提高自己的思维能力和解题能力. 3.运用逆向思维(倒推法)和尝试法猜想 有时学生对题目确实是一点头绪都没有,那么不妨从结论出发,运用逆向思维(倒推法)一步步推得要满足的条件,或用尝试的方法去解题. 如图:正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转,边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N.(1)求证:OM=ON;(2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连结PM,若正方形的边长为12,且PM=5,试求的长. 分析:由以往的解题经验可知要证明OM=ON,,常用的方法是证明它们所在的全等,即证明AOM≌BON,而由正方形的性质很容易证得,AOM≌BON(SAS),所以OM=ON,.(2)要求AM的长,解题思路:尝试①寻找与AM相等的线段,能否直接求出,由(1)可推得AM=BN,但无法直接求出,尝试②AM 是Rt 的一直角边,能否用勾股定理结合方程求出,设AM=x,则BN=x,只要把AP也表示出来,已知条件是PM=5,由图猜想若PN=PM=5,则AP=12-x-5=7-x, 则可列出方程,x2+(7-x)2=25解得x=3或x=4,所以只要证明PN=PM,而结合(1)和正方形的性质可证得MOP≌NOP,所以MP=NP=5 有的题目还不止一两种解题方法.当然对于这类较难的题目,中等学生只要求能解决第(1)题,而一小部分学生能在解题过程中通过这样的逆向思维,间接猜想尝试等方法的逐步训练中,也渐渐能摸索到解决这类题目的方法,从而让他们体验到"条条道路通罗马"的真理,感受"原来我也能解决难题"的成功和喜悦. 反思:经过一个多学期的潜移默化的训练,令人值得欣慰的是大部分学生填空和选择已动脑肯去猜想,证明题即使不会证明也会把猜想的结论写上(不管正确与否),这都是一种进步,更有几个好学生在每天一练的难题中表现出显著的进步,由一开始只解第(1)题或第(2)题到现在能解第(3)第(4)题,甚至全部做对,面对难题不再望而却步,而是"我能做,我会做",肯花时间去思考探索讨论和质疑,而老师的鼓励和肯定更加强了他们解决问题的信心.