第十二章 弯曲应力 一、内容提要 1. 梁的正应力及正应力强度计算 公式 或 拉应力为正,压应力为负.梁在凸出的一侧受拉,凹入的一侧受压. 分布规律 正应力沿截面高度直线分布,沿截面宽度均匀分布.中性轴上的点正应力等于零,离中性轴最远的点取得该截面上正应力的最大值. 强度计算 梁的正应力强度条件 塑性材料 脆性材料 工程应用 (1) 正应力强度校核 (2) 按正应力强度设计截面 (3)按正应力强度求许用荷载 2. 梁的切应力及切应力强度计算 公式 矩形截面梁 工字形截面 圆形截面 薄壁圆环截面 上述几种截面的最大切应力均发生在中性轴上. 强度计算 切应力强度条件 工程应用 由于梁的强度主要由正应力控制,所以切应力只对以下情况才进行强度校核,对于细长梁可以不作切应力强度计算. (1) 梁的最大剪力很大,而最大弯矩较小时. (2) 梁为组合截面钢梁,当其腹板的宽度与梁的高度之比小于型钢截面的相应比值时. (3) 梁为木梁时. 3. 提高梁弯曲强度的措施 (1)降低最大弯矩 合理设置梁支座的位置和形式,加强约束,减小跨度;合理布置梁上荷载,使荷载尽量分散 合理选择截面 应尽量选材料远离中性轴的截面;于塑性材料,最好选择上、下边缘对中性轴对称的截面,对于脆性材料,最好选择上、下边缘对中性轴不对称的截面; 采用变截面梁. 二、典型例题解析 例12-1 已知:图12-1a所示T型截面梁中,FP1=4kN,FP2=8kN,[σt]=30MPa,[σc]=60MPa,Iz=763*104mm4,y1=88mm,y2=52mm.试按正应力校核梁的强度. 12-1图 知识点 正应力强度校核. 解(1) 作梁的弯矩图,如图12-1b所示. (2) 校核梁的强度.T型截面为不对称截面,需对最大正、负弯矩截面分别计算. A截面为最大负弯矩截面,且为全梁的最大弯矩截面,该截面的最大正应力为 D截面为最大正弯矩截面,该截面的最大压应力比A截面小,不必计算.该截面的最大拉应力为 梁的强度满足要求. 例12-2 已知:图12-2a所示简支木梁,[σ]=10MPa,[τ]=2MPa,试按要求完成下列各项. (1)若q=4kN/m,梁为矩形截面,高宽比h/b=1.5.求所需的截面尺寸. (2)梁为实心圆截面,直径D=180mm,按正应力强度计算许用荷载. 12-2图 知识点 设计截面、计算许用荷载 解(1)木梁要同时进行正应力、剪应力强度计算 先按正应力强度计算截面尺寸,再对剪应力校核. 作梁的剪力图12-2b、弯矩图12-2c,最大弯矩Mmax=12.5kN·m 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又矩形截面Wz= 所以 b≥149mm 取b=150mm h=225mm τmax=1.5<[τ] (2)按正应力强度计算许用荷载 实心圆截面Wz= 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 又Mmax=N·m 所以 3.125q≤5.725*105*10*10-3 q≤1.832*103N/m=1.832kN/m [q]= 1.832kN/m 三、思考题提示或解答 12-1 什么是纯弯曲?什么是横力弯曲?举例说明. 提示 两者的区别是看截面上是否有剪力. 12-2 什么叫中性层?什么叫中性轴?如何确定产生平面弯曲的直梁的中性轴位置?当梁在竖直方向的纵向对称平面内受外力作用产生平面弯曲时,试作出图示各截面中性轴的位置.(图中c为截面形心) 提示 中性轴一定通过截面形心. 原图12-30 思12-2图12-3 纯弯曲时,梁的正应力计算公式使用条件是什么?这个公式还可推广应用于什么情况? 解答 使用条件: (1) 梁产生纯弯曲. (2) 正应力不超过材料的比例极限. 可推广应用于l/h值大于5的横力弯曲梁. 12-4 什么是抗弯截面系数?判断图示两截面(z轴为中性轴)抗弯截面系数Wz的计算是否正确?若不正确,应该如何计算? 提示 不正确. 原图12-31 思12-4图12-5 弯曲正应力沿截面高度如何分布?当梁产生平面弯曲时,作出图示各截面正应力沿直线m-m的分布图.(假定M>0) 原图12-32 思12-5图 提示 弯曲正应力沿截面高度按直线分布,中性轴上为零. 12-6 用正应力公式计算任一点的正应力时,的正负号如何确定?试判断图示梁1-1、2-2截面上a点处的正、负号. 原图12-33 思12-6图 解答 以中性轴为界受拉的一侧为正,受压的一侧为负.1-1截面上a点处为正, 2-2截面上a点处为负. 12-7 等直梁的最大正应力发生在哪个截面上?什么位置处?试回答:图示各梁的最大正应力发生在哪个截面上?何处产生了最大拉应力,何处产生了最大压应力?并找出各梁的中性轴来. 原图12-34 思12-7图 提示 a图最大正应力发生在A截面上;12边上产生了最大拉应力,34边上产生了最大压应力;中性轴为z轴.b图最大正应力发生在A截面上;14边上产生了最大拉应力,23边上产生了最大压应力;中性轴为y轴. 12-8 分别写出与塑性材料和脆性材料相对应的正应力强度条件式,与材料相对应的最佳截面形式分别是哪种?举例说明. 提示 对塑性材料最好选对称截面,对脆性材料最好选不对称截面. 12-9 跨度、荷载、截面、类型完全相同的两根梁,它们的材料不同,那么这两根梁的弯矩图、剪力图是否相同?它们的最大正应力、最大切应力是否相同?它们的强度是否相同?通过思考以上问题你能得出什么结论? 解答 弯矩图、剪力图相同,最大正应力、最大切应力相同,强度不同. 结论:梁的内力图、正应力、切应力与材料无关,强度与材料有关. 12-10 写出矩形截面梁切应力的计算公式,说明公式中各符号的含义.矩形截面梁的切应力沿截面高度是如何分布的?其最大切应力发生在何处?如何计算?工字形、圆形、圆环形截面的最大切应力如何计算?发生在何处?产生最大切应力的点处,正应力有什么特点? 提示 矩形截面梁的切应力沿截面高度按抛物线规律分布.上述各截面的最大切应力均发生在中性轴上.产生最大切应力的点处,正应力等于零. 12-11 写出梁的切应力强度条件式,并说明需进行切应力强度校核的几种情况. 解答 切应力强度条件式 需进行切应力强度校核的情况: (1) 梁的最大剪力很大,而最大弯矩较小时. (2) 梁为组合截面钢梁,当其腹板的宽度与梁的高度之比小于型钢截面的相应比值时. (3) 梁为木梁时. 12-12 提高梁弯曲强度的措施有哪些?简述工程中常将矩形截面"立放"而不"平放"的原因.为了提高梁的弯曲强度,能否将矩形截面做成高而窄的长条形? 提示 立放矩形截面能使抗弯截面系数大.不能将矩形截面做成高而窄的长条形. 12-13 什么是等强度梁?什么是变截面梁?为什么工程中常用的变截面梁并不是等强度梁? 解答 横截面尺寸在整根梁范围内不是一个常数,而是沿着轴线有一定变化的梁称为变截面梁.每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力的变截面梁称为等强度梁.由于等强度梁的制作比较复杂,给施工带来好多困难,综合考虑强度和施工两种因素,它并不是最经济合理的梁.所以工程中,通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁,而不采用等强度梁. 12-14 图示的悬臂梁和三角架选用相同的钢材,自重均不计,三角架的水平杆横截面尺寸和形状也和悬臂梁相同,三角架的斜杆面积为水平杆的二倍,试回答:⑴两图中AB杆各产生哪种变形?⑵计算两图强度的方法是否相同?⑶悬臂梁和三角架谁的承载能力大? 原图12-35 思12-14图 提示 a中AB杆产生平面弯曲变形,b中AB杆产生轴向压缩变形.计算两图强度的方法是不相同. 12-15 作出图示截面上计算a点切应力时,求静矩的面积(图中C为截面的形心). 原图12-36 思12-15图 解答 计算a点切应力时,求静矩的面积见思解12-15图影线部分. 思解12-15图12-16 图示正方形截面木梁,可用一根大木料作成(图a),也可由两根小木料拼成(图b),若用两根小木料拼成时,两木料之间只是简单拼合,并没用其它构件相连接,试问在这两种情况下,该梁的最大正应力是否相同? 原图12-37 思12-16图 解答 最大正应力不相同. 12-17 图示T形截面铸铁梁,按要求完成下列内容:⑴ 作出B、C两截面的正应力分布图,并标明拉应力和压应力各在何处?⑵ B、C两截面上的最大拉应力和最大压应力在何处?⑶ 全梁范围内最大拉应力、最大压应力在何处? 原图12-38 思12-17图 提示 以中性轴为界B截面上侧受拉,下侧受压;C截面下侧受拉,上侧受压. 四、课后习题解答 题12-1~12-3为求梁指定截面上的正应力问题 12-1 求图示外伸梁1-1截面上a、b、c、d、e五点处的正应力,并作出该截面上正应力沿截面高度的分布图. 原图12-39 题12-1图解1-1截面上的弯矩M1=-20kN·m 惯性矩Iz==2.074*108mm4 σb=-σd=MPa=11.57 MPa σc=-σe= MPa=5.79 MPa 正应力沿截面高度的分布见题解12-1图 题解12-1图12-2 一外径为D=240mm,内径为d=200mm,长l=12m的圆环截面简支梁,受到向下均布荷载q=200N/m的作用,求最大弯矩截面上a、b两点的正应力. 原图12-40 题12-2图解梁的最大弯矩在跨中截面上Mmax=N·m=3600 N·m 惯性矩Iz= mm4=84.29*106mm4 σb= MPa=5.12 MPa σa = MPa=-4.27 MPa 12-3 试计算下列各梁全梁范围内的最大拉、压应力,并说明最大应力所在位置. 原图12-41 题12-3图解a) 弯矩图见题解12-3图a).最大弯矩|M|max=22.5 kN·m 题解12-3图a) 抗弯截面系数Wz=mm3 σtmax=-σcmax= MPa=28.12 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上. b) 弯矩图见题解12-3图b).最大弯矩|M|max=18kN·m 题解12-3图b) 抗弯截面系数Wz=mm3 σtmax=-σcmax= MPa=93.75 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上. c) 弯矩图见题解12-3图c).最大弯矩|M|max=5kN·m 题解12-3图c) 抗弯截面系数Wz=1430*103 mm3 σtmax=-σcmax= MPa=3.49 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上,或C截面的下、上边缘上. d) 弯矩图见题解12-3图d).最大弯矩|M|max=6.25kN·m 题解12-3图d) 抗弯截面系数Wz= mm3 σtmax=-σcmax= MPa=4.59 MPa 最大拉、压应力分别在A截面的上、下边缘上. e) 弯矩图见题解12-3图e).最大弯矩|M|max=30kN·m 题解12-3图e) σtmax= MPa=120 MPa σcmax= MPa=-30 MPa 最大拉、压应力分别在D截面的下、上边缘上. f) 弯矩图见题解12-3图f).Mc =2kN·m |M|B=0.5 kN·m 题解12-3图f) 查表得 Iz=157.8*104mm4 y1=56mm y2=21mm C截面:σtmax= MPa=70.99 MPa σcmax= MPa=-26.62 MPa B截面:σtmax= MPa=6.66 MPa σcmax= MPa=-17.75 MPa 可见:全梁的最大拉、压应力分别在C截面的下、上边缘上. 12-4~12-8为截面为对称截面,弯曲正应力强度的工程应用,这类问题只需对最大弯矩截面计算. 12-4 已知:图示梁选用材料的许用应力[]=160MPa,试校核该梁的正应力强度. 原图12-42 题12-4图解弯矩图见题解12-4图.Mmax =60kN·m 题解12-4图 查表得 Wz=1090*103mm3 σmax=MPa=55.04MPa<[σ] 满足正应力强度要求. 12-5 一简支梁受力如图所示,FP=5kN,材料的许用应力为[]=10MPa,横截面为矩形,高宽比为h/b=3/1,试按正应力强度条件选择矩形截面的高、宽尺寸. 原图12-43 题12-5图解弯矩图见题解12-5图.Mmax =3.5kN·m 题解12-5图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又矩形截面Wz= 所以 b≥61.5mm h≥184.5mm 选b=62mm h=186mm 12-6 简支梁受均布荷载作用如图所示,材料的许用应力[]=10MPa,矩形截面尺寸为b*h=120mm*180mm,试按照正应力强度条件确定梁上的许用荷载值. 原图12-44 题12-6图解弯矩图见题解12-6图.Mmax =2qkN·m 题解12-6图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 又矩形截面Wz=mm3 所以 2q*106≤*10 q≤3.24kN/m [q]= 3.24kN/m 12-7 工字钢梁如图所示,q=12kN/m,材料的许用应力[]=160MPa,试选择工字钢的型号. 原图12-45 题12-7图解弯矩图见题解12-7图.Mmax =30kN·m 题解12-7图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 所以 Wz≥mm3=187.5 *103mm3 选20a工字钢,Wz=237*103mm3. 12-8 简支梁如图所示,跨度l=5m,荷载q=8kN/m,材料的许用应力[]=12MPa,采用圆形截面,试求直径d. 原图12-46 题12-8图解弯矩图见题解12-8图.Mmax =25kN·m 题解12-8图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又圆形截面 Wz= 所以 ≥ d≥276.9mm 选d=278mm 12-9、12-10为截面为不对称截面,弯曲正应力强度的工程应用,这类问题需针对最大正、负弯矩截面分别计算. 12-9 槽形截面梁的受力及尺寸如图所示.已知Iz=1.729*108mm4,y1=317mm,y2=183mm,材料为铸铁,其许用拉应力[σt]=40MPa,许用压应力[σc]=80MPa,试求的许用荷载FP. 原图12-47 题12-9图解弯矩图见题解12-9图.|M-|max =Mc=0.6FPkN·m M+max =MA=0.8FPkN·m 题解12-9图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤ A截面:下侧受拉 0.8FP*106≤ FP≤47.2kN 上侧受压 0.8FP*106≤ FP≤54.5kN C截面:上侧受拉 0.6FP*106≤ FP≤36.36kN 下侧受压 经分析可知,按下侧算得荷载较大,不是许用值. 所以 [FP]= 36.36kN 12-10 图示外伸梁,已知材料的许用拉应力为[σt]=30MPa,许用压应力[σc]=70MPa,FP=20kN,q=10kN/m,Iz=40.3*106mm4,y1=139mm,y2=61mm,试校核梁的正应力强度. 原图12-48 题12-10图解弯矩图见题解12-10图.|M-|max =MA=20kN·m M+max =MD=10kN·m 题解12-10图 A截面:上侧受拉,下侧受压 σtmax= MPa= 30.27MPa> [σt] 只超过0.9% σcmax= MPa=-68.98 MPa D截面:下侧受拉,上侧受压 σtmax= MPa=34.5 MPa> [σt] 不满足正应力强度要求. 12-11、12-12、12-14、12-15、12-17为同时考虑正应力、切应力时的强度计算问题. 12-11 图示吊车梁用工字钢制作,已知材料的许用弯曲应力,许用切应力,求荷载FP的许用值. 原图12-49 题12-11图解剪力图、弯矩图见题解12-11图.Mmax =2FPkN·m FQmax=FP/2kN 题解12-11图 查表得 Wz=401.88*103mm3 =21.58*10 mm b1=8mm 按正应力强度计算 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 即2FP*106≤401.88*103*170 FP≤34.2kN 按切应力强度校核 当FP=34.2kN时FQmax=17.08 kN τmax= MPa =9.89 MPa<[τ] 故[FP]= 34.2kN 12-12 一受均布荷载的外伸梁,采用矩形截面,b*h=60mm*120mm,已知荷载q=1.5kN/m,材料的许用弯曲应力,许用切应力,试按正应力及切应力强度条件校核梁的强度. 原图12-50 题12-12图解剪力图、弯矩图见题解12-12图.Mmax =1.31kN·m FQmax=2.5 kN 题解12-12图 按正应力强度校核 σmax== MPa=9.09 MPa<[σ] 按切应力强度校核 τmax=1.5 MPa=0.52 MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-13 图示梁由两根槽钢组成,材料的许用应力,荷载FP=20kN,m=40kN·m,试按正应力强度选择槽钢的型号. 原图12-51 题12-13图解选择槽钢的型号时要注意该梁由两根槽钢组成 弯矩图见题解12-13图.Mmax =60kN·m 题解12-13图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=0.35*106mm3 每根槽钢Wz≥176 103mm3 查表得 20a槽钢Wz=178*103 mm3 >176 103mm3 选 两根20a槽钢 12-14 图示梁受一可沿梁长移动的荷载FP=20kN作用,已知木材的许用正应力,许用切应力,木材的横截面为矩形,其高宽比为h/b=3/2,试确定矩形截面的尺寸. 原图12-52 题12-14图解当移动荷载位于梁跨中时该梁弯矩最大 剪力图、弯矩图见题解12-14图.Mmax =10kN·m FQmax=10 kN 题解12-14图 按正应力强度确定截面尺寸 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=106 mm3 即≥106 mm3 b≥138.7mm h≥208mm 取b=140mm h=210mm 按切应力强度校核 τmax=1.5 MPa=0.521MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-15 简支梁受力如图所示,已知材料的许用应力,,FP1=80Kn FP2=60kN,q=20kN/m,截面采用一根工字钢,试校核该梁的强度. 原图12-53 题12-15图解剪力图、弯矩图见题解12-15图.Mmax =82.35kN·m FQmax=113.12kN 题解12-15图 查表得 Wz=508.15*103mm3 b1=8.5mm =24.62*10mm 按正应力强度校核 σmax==MPa=162.06 MPa<[σ] 按切应力强度校核 τmax= MPa=54.05 MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-16 图示悬臂木梁,采用正方形截面,截面尺寸a*a=160mm*160mm.已知:q=2kN/m,FP=5kN,l=1m,材料的许用弯曲应力,若在距固定端0.25m处钻一直径为d的圆孔,问要保证梁不因强度不足而破坏,孔的直径d最大可以是多少? 原图12-54 题12-16图解该题为截面有削弱时的强度计算问题 在直径为d的圆孔处 M =5*0.75+2*0.752/2=4.31kN·m 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=4.31*105 mm3 在直径为d的圆孔处 Wz= 即≥4.31*105 mm3 d≤115mm 12-17 图示简支梁,选用型号为的工字钢截面,材料的许用弯曲应力,试按正应力强度条件求梁上的许用荷截FP;再按此许用荷载求梁内的最大切应力,并说明最大切应力发生在何处? 原图12-55 题12-17图解剪力图、弯矩图见题解12-17图.Mmax =6FP/5kN·m FQmax=6FP/5 kN 题解12-17图 按正应力强度确定许用荷载 查表得 Wz=692.2*103mm3 b1=9.5mm 27.46*10mm 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤[σ]Wz 即*106≤80*692.2*103 FP≤46.15 kN [FP]= 46.15 kN 计算最大切应力 当FP=46.15 kN时,FQmax=55.38 kN τmax= MPa =21.23MPa 最大切应力发生在AC梁段的上下边缘处.
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第十二章 弯曲应力 一、内容提要 1. 梁的正应力及正应力强度计算 公式 或 拉应力为正,压应力为负.梁在凸出的一侧受拉,凹入的一侧受压. 分布规律 正应力沿截面高度直线分布,沿截面宽度均匀分布.中性轴上的点正应力等于零,离中性轴最远的点取得该截面上正应力的最大值. 强度计算 梁的正应力强度条件 塑性材料 脆性材料 工程应用 (1) 正应力强度校核 (2) 按正应力强度设计截面 (3)按正应力强度求许用荷载 2. 梁的切应力及切应力强度计算 公式 矩形截面梁 工字形截面 圆形截面 薄壁圆环截面 上述几种截面的最大切应力均发生在中性轴上. 强度计算 切应力强度条件 工程应用 由于梁的强度主要由正应力控制,所以切应力只对以下情况才进行强度校核,对于细长梁可以不作切应力强度计算. (1) 梁的最大剪力很大,而最大弯矩较小时. (2) 梁为组合截面钢梁,当其腹板的宽度与梁的高度之比小于型钢截面的相应比值时. (3) 梁为木梁时. 3. 提高梁弯曲强度的措施 (1)降低最大弯矩 合理设置梁支座的位置和形式,加强约束,减小跨度;合理布置梁上荷载,使荷载尽量分散 合理选择截面 应尽量选材料远离中性轴的截面;于塑性材料,最好选择上、下边缘对中性轴对称的截面,对于脆性材料,最好选择上、下边缘对中性轴不对称的截面; 采用变截面梁. 二、典型例题解析 例12-1 已知:图12-1a所示T型截面梁中,FP1=4kN,FP2=8kN,[σt]=30MPa,[σc]=60MPa,Iz=763*104mm4,y1=88mm,y2=52mm.试按正应力校核梁的强度. 12-1图 知识点 正应力强度校核. 解(1) 作梁的弯矩图,如图12-1b所示. (2) 校核梁的强度.T型截面为不对称截面,需对最大正、负弯矩截面分别计算. A截面为最大负弯矩截面,且为全梁的最大弯矩截面,该截面的最大正应力为 D截面为最大正弯矩截面,该截面的最大压应力比A截面小,不必计算.该截面的最大拉应力为 梁的强度满足要求. 例12-2 已知:图12-2a所示简支木梁,[σ]=10MPa,[τ]=2MPa,试按要求完成下列各项. (1)若q=4kN/m,梁为矩形截面,高宽比h/b=1.5.求所需的截面尺寸. (2)梁为实心圆截面,直径D=180mm,按正应力强度计算许用荷载. 12-2图 知识点 设计截面、计算许用荷载 解(1)木梁要同时进行正应力、剪应力强度计算 先按正应力强度计算截面尺寸,再对剪应力校核. 作梁的剪力图12-2b、弯矩图12-2c,最大弯矩Mmax=12.5kN·m 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又矩形截面Wz= 所以 b≥149mm 取b=150mm h=225mm τmax=1.5<[τ] (2)按正应力强度计算许用荷载 实心圆截面Wz= 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 又Mmax=N·m 所以 3.125q≤5.725*105*10*10-3 q≤1.832*103N/m=1.832kN/m [q]= 1.832kN/m 三、思考题提示或解答 12-1 什么是纯弯曲?什么是横力弯曲?举例说明. 提示 两者的区别是看截面上是否有剪力. 12-2 什么叫中性层?什么叫中性轴?如何确定产生平面弯曲的直梁的中性轴位置?当梁在竖直方向的纵向对称平面内受外力作用产生平面弯曲时,试作出图示各截面中性轴的位置.(图中c为截面形心) 提示 中性轴一定通过截面形心. 原图12-30 思12-2图12-3 纯弯曲时,梁的正应力计算公式使用条件是什么?这个公式还可推广应用于什么情况? 解答 使用条件: (1) 梁产生纯弯曲. (2) 正应力不超过材料的比例极限. 可推广应用于l/h值大于5的横力弯曲梁. 12-4 什么是抗弯截面系数?判断图示两截面(z轴为中性轴)抗弯截面系数Wz的计算是否正确?若不正确,应该如何计算? 提示 不正确. 原图12-31 思12-4图12-5 弯曲正应力沿截面高度如何分布?当梁产生平面弯曲时,作出图示各截面正应力沿直线m-m的分布图.(假定M>0) 原图12-32 思12-5图 提示 弯曲正应力沿截面高度按直线分布,中性轴上为零. 12-6 用正应力公式计算任一点的正应力时,的正负号如何确定?试判断图示梁1-1、2-2截面上a点处的正、负号. 原图12-33 思12-6图 解答 以中性轴为界受拉的一侧为正,受压的一侧为负.1-1截面上a点处为正, 2-2截面上a点处为负. 12-7 等直梁的最大正应力发生在哪个截面上?什么位置处?试回答:图示各梁的最大正应力发生在哪个截面上?何处产生了最大拉应力,何处产生了最大压应力?并找出各梁的中性轴来. 原图12-34 思12-7图 提示 a图最大正应力发生在A截面上;12边上产生了最大拉应力,34边上产生了最大压应力;中性轴为z轴.b图最大正应力发生在A截面上;14边上产生了最大拉应力,23边上产生了最大压应力;中性轴为y轴. 12-8 分别写出与塑性材料和脆性材料相对应的正应力强度条件式,与材料相对应的最佳截面形式分别是哪种?举例说明. 提示 对塑性材料最好选对称截面,对脆性材料最好选不对称截面. 12-9 跨度、荷载、截面、类型完全相同的两根梁,它们的材料不同,那么这两根梁的弯矩图、剪力图是否相同?它们的最大正应力、最大切应力是否相同?它们的强度是否相同?通过思考以上问题你能得出什么结论? 解答 弯矩图、剪力图相同,最大正应力、最大切应力相同,强度不同. 结论:梁的内力图、正应力、切应力与材料无关,强度与材料有关. 12-10 写出矩形截面梁切应力的计算公式,说明公式中各符号的含义.矩形截面梁的切应力沿截面高度是如何分布的?其最大切应力发生在何处?如何计算?工字形、圆形、圆环形截面的最大切应力如何计算?发生在何处?产生最大切应力的点处,正应力有什么特点? 提示 矩形截面梁的切应力沿截面高度按抛物线规律分布.上述各截面的最大切应力均发生在中性轴上.产生最大切应力的点处,正应力等于零. 12-11 写出梁的切应力强度条件式,并说明需进行切应力强度校核的几种情况. 解答 切应力强度条件式 需进行切应力强度校核的情况: (1) 梁的最大剪力很大,而最大弯矩较小时. (2) 梁为组合截面钢梁,当其腹板的宽度与梁的高度之比小于型钢截面的相应比值时. (3) 梁为木梁时. 12-12 提高梁弯曲强度的措施有哪些?简述工程中常将矩形截面"立放"而不"平放"的原因.为了提高梁的弯曲强度,能否将矩形截面做成高而窄的长条形? 提示 立放矩形截面能使抗弯截面系数大.不能将矩形截面做成高而窄的长条形. 12-13 什么是等强度梁?什么是变截面梁?为什么工程中常用的变截面梁并不是等强度梁? 解答 横截面尺寸在整根梁范围内不是一个常数,而是沿着轴线有一定变化的梁称为变截面梁.每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力的变截面梁称为等强度梁.由于等强度梁的制作比较复杂,给施工带来好多困难,综合考虑强度和施工两种因素,它并不是最经济合理的梁.所以工程中,通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁,而不采用等强度梁. 12-14 图示的悬臂梁和三角架选用相同的钢材,自重均不计,三角架的水平杆横截面尺寸和形状也和悬臂梁相同,三角架的斜杆面积为水平杆的二倍,试回答:⑴两图中AB杆各产生哪种变形?⑵计算两图强度的方法是否相同?⑶悬臂梁和三角架谁的承载能力大? 原图12-35 思12-14图 提示 a中AB杆产生平面弯曲变形,b中AB杆产生轴向压缩变形.计算两图强度的方法是不相同. 12-15 作出图示截面上计算a点切应力时,求静矩的面积(图中C为截面的形心). 原图12-36 思12-15图 解答 计算a点切应力时,求静矩的面积见思解12-15图影线部分. 思解12-15图12-16 图示正方形截面木梁,可用一根大木料作成(图a),也可由两根小木料拼成(图b),若用两根小木料拼成时,两木料之间只是简单拼合,并没用其它构件相连接,试问在这两种情况下,该梁的最大正应力是否相同? 原图12-37 思12-16图 解答 最大正应力不相同. 12-17 图示T形截面铸铁梁,按要求完成下列内容:⑴ 作出B、C两截面的正应力分布图,并标明拉应力和压应力各在何处?⑵ B、C两截面上的最大拉应力和最大压应力在何处?⑶ 全梁范围内最大拉应力、最大压应力在何处? 原图12-38 思12-17图 提示 以中性轴为界B截面上侧受拉,下侧受压;C截面下侧受拉,上侧受压. 四、课后习题解答 题12-1~12-3为求梁指定截面上的正应力问题 12-1 求图示外伸梁1-1截面上a、b、c、d、e五点处的正应力,并作出该截面上正应力沿截面高度的分布图. 原图12-39 题12-1图解1-1截面上的弯矩M1=-20kN·m 惯性矩Iz==2.074*108mm4 σb=-σd=MPa=11.57 MPa σc=-σe= MPa=5.79 MPa 正应力沿截面高度的分布见题解12-1图 题解12-1图12-2 一外径为D=240mm,内径为d=200mm,长l=12m的圆环截面简支梁,受到向下均布荷载q=200N/m的作用,求最大弯矩截面上a、b两点的正应力. 原图12-40 题12-2图解梁的最大弯矩在跨中截面上Mmax=N·m=3600 N·m 惯性矩Iz= mm4=84.29*106mm4 σb= MPa=5.12 MPa σa = MPa=-4.27 MPa 12-3 试计算下列各梁全梁范围内的最大拉、压应力,并说明最大应力所在位置. 原图12-41 题12-3图解a) 弯矩图见题解12-3图a).最大弯矩|M|max=22.5 kN·m 题解12-3图a) 抗弯截面系数Wz=mm3 σtmax=-σcmax= MPa=28.12 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上. b) 弯矩图见题解12-3图b).最大弯矩|M|max=18kN·m 题解12-3图b) 抗弯截面系数Wz=mm3 σtmax=-σcmax= MPa=93.75 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上. c) 弯矩图见题解12-3图c).最大弯矩|M|max=5kN·m 题解12-3图c) 抗弯截面系数Wz=1430*103 mm3 σtmax=-σcmax= MPa=3.49 MPa 最大拉、压应力分别在B截面的上、下边缘上,或C截面的下、上边缘上. d) 弯矩图见题解12-3图d).最大弯矩|M|max=6.25kN·m 题解12-3图d) 抗弯截面系数Wz= mm3 σtmax=-σcmax= MPa=4.59 MPa 最大拉、压应力分别在A截面的上、下边缘上. e) 弯矩图见题解12-3图e).最大弯矩|M|max=30kN·m 题解12-3图e) σtmax= MPa=120 MPa σcmax= MPa=-30 MPa 最大拉、压应力分别在D截面的下、上边缘上. f) 弯矩图见题解12-3图f).Mc =2kN·m |M|B=0.5 kN·m 题解12-3图f) 查表得 Iz=157.8*104mm4 y1=56mm y2=21mm C截面:σtmax= MPa=70.99 MPa σcmax= MPa=-26.62 MPa B截面:σtmax= MPa=6.66 MPa σcmax= MPa=-17.75 MPa 可见:全梁的最大拉、压应力分别在C截面的下、上边缘上. 12-4~12-8为截面为对称截面,弯曲正应力强度的工程应用,这类问题只需对最大弯矩截面计算. 12-4 已知:图示梁选用材料的许用应力[]=160MPa,试校核该梁的正应力强度. 原图12-42 题12-4图解弯矩图见题解12-4图.Mmax =60kN·m 题解12-4图 查表得 Wz=1090*103mm3 σmax=MPa=55.04MPa<[σ] 满足正应力强度要求. 12-5 一简支梁受力如图所示,FP=5kN,材料的许用应力为[]=10MPa,横截面为矩形,高宽比为h/b=3/1,试按正应力强度条件选择矩形截面的高、宽尺寸. 原图12-43 题12-5图解弯矩图见题解12-5图.Mmax =3.5kN·m 题解12-5图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又矩形截面Wz= 所以 b≥61.5mm h≥184.5mm 选b=62mm h=186mm 12-6 简支梁受均布荷载作用如图所示,材料的许用应力[]=10MPa,矩形截面尺寸为b*h=120mm*180mm,试按照正应力强度条件确定梁上的许用荷载值. 原图12-44 题12-6图解弯矩图见题解12-6图.Mmax =2qkN·m 题解12-6图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 又矩形截面Wz=mm3 所以 2q*106≤*10 q≤3.24kN/m [q]= 3.24kN/m 12-7 工字钢梁如图所示,q=12kN/m,材料的许用应力[]=160MPa,试选择工字钢的型号. 原图12-45 题12-7图解弯矩图见题解12-7图.Mmax =30kN·m 题解12-7图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 所以 Wz≥mm3=187.5 *103mm3 选20a工字钢,Wz=237*103mm3. 12-8 简支梁如图所示,跨度l=5m,荷载q=8kN/m,材料的许用应力[]=12MPa,采用圆形截面,试求直径d. 原图12-46 题12-8图解弯矩图见题解12-8图.Mmax =25kN·m 题解12-8图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥ 又圆形截面 Wz= 所以 ≥ d≥276.9mm 选d=278mm 12-9、12-10为截面为不对称截面,弯曲正应力强度的工程应用,这类问题需针对最大正、负弯矩截面分别计算. 12-9 槽形截面梁的受力及尺寸如图所示.已知Iz=1.729*108mm4,y1=317mm,y2=183mm,材料为铸铁,其许用拉应力[σt]=40MPa,许用压应力[σc]=80MPa,试求的许用荷载FP. 原图12-47 题12-9图解弯矩图见题解12-9图.|M-|max =Mc=0.6FPkN·m M+max =MA=0.8FPkN·m 题解12-9图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤ A截面:下侧受拉 0.8FP*106≤ FP≤47.2kN 上侧受压 0.8FP*106≤ FP≤54.5kN C截面:上侧受拉 0.6FP*106≤ FP≤36.36kN 下侧受压 经分析可知,按下侧算得荷载较大,不是许用值. 所以 [FP]= 36.36kN 12-10 图示外伸梁,已知材料的许用拉应力为[σt]=30MPa,许用压应力[σc]=70MPa,FP=20kN,q=10kN/m,Iz=40.3*106mm4,y1=139mm,y2=61mm,试校核梁的正应力强度. 原图12-48 题12-10图解弯矩图见题解12-10图.|M-|max =MA=20kN·m M+max =MD=10kN·m 题解12-10图 A截面:上侧受拉,下侧受压 σtmax= MPa= 30.27MPa> [σt] 只超过0.9% σcmax= MPa=-68.98 MPa D截面:下侧受拉,上侧受压 σtmax= MPa=34.5 MPa> [σt] 不满足正应力强度要求. 12-11、12-12、12-14、12-15、12-17为同时考虑正应力、切应力时的强度计算问题. 12-11 图示吊车梁用工字钢制作,已知材料的许用弯曲应力,许用切应力,求荷载FP的许用值. 原图12-49 题12-11图解剪力图、弯矩图见题解12-11图.Mmax =2FPkN·m FQmax=FP/2kN 题解12-11图 查表得 Wz=401.88*103mm3 =21.58*10 mm b1=8mm 按正应力强度计算 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤Wz[σ] 即2FP*106≤401.88*103*170 FP≤34.2kN 按切应力强度校核 当FP=34.2kN时FQmax=17.08 kN τmax= MPa =9.89 MPa<[τ] 故[FP]= 34.2kN 12-12 一受均布荷载的外伸梁,采用矩形截面,b*h=60mm*120mm,已知荷载q=1.5kN/m,材料的许用弯曲应力,许用切应力,试按正应力及切应力强度条件校核梁的强度. 原图12-50 题12-12图解剪力图、弯矩图见题解12-12图.Mmax =1.31kN·m FQmax=2.5 kN 题解12-12图 按正应力强度校核 σmax== MPa=9.09 MPa<[σ] 按切应力强度校核 τmax=1.5 MPa=0.52 MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-13 图示梁由两根槽钢组成,材料的许用应力,荷载FP=20kN,m=40kN·m,试按正应力强度选择槽钢的型号. 原图12-51 题12-13图解选择槽钢的型号时要注意该梁由两根槽钢组成 弯矩图见题解12-13图.Mmax =60kN·m 题解12-13图 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=0.35*106mm3 每根槽钢Wz≥176 103mm3 查表得 20a槽钢Wz=178*103 mm3 >176 103mm3 选 两根20a槽钢 12-14 图示梁受一可沿梁长移动的荷载FP=20kN作用,已知木材的许用正应力,许用切应力,木材的横截面为矩形,其高宽比为h/b=3/2,试确定矩形截面的尺寸. 原图12-52 题12-14图解当移动荷载位于梁跨中时该梁弯矩最大 剪力图、弯矩图见题解12-14图.Mmax =10kN·m FQmax=10 kN 题解12-14图 按正应力强度确定截面尺寸 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=106 mm3 即≥106 mm3 b≥138.7mm h≥208mm 取b=140mm h=210mm 按切应力强度校核 τmax=1.5 MPa=0.521MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-15 简支梁受力如图所示,已知材料的许用应力,,FP1=80Kn FP2=60kN,q=20kN/m,截面采用一根工字钢,试校核该梁的强度. 原图12-53 题12-15图解剪力图、弯矩图见题解12-15图.Mmax =82.35kN·m FQmax=113.12kN 题解12-15图 查表得 Wz=508.15*103mm3 b1=8.5mm =24.62*10mm 按正应力强度校核 σmax==MPa=162.06 MPa<[σ] 按切应力强度校核 τmax= MPa=54.05 MPa<[τ] 梁的强度满足要求 12-16 图示悬臂木梁,采用正方形截面,截面尺寸a*a=160mm*160mm.已知:q=2kN/m,FP=5kN,l=1m,材料的许用弯曲应力,若在距固定端0.25m处钻一直径为d的圆孔,问要保证梁不因强度不足而破坏,孔的直径d最大可以是多少? 原图12-54 题12-16图解该题为截面有削弱时的强度计算问题 在直径为d的圆孔处 M =5*0.75+2*0.752/2=4.31kN·m 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Wz≥mm3=4.31*105 mm3 在直径为d的圆孔处 Wz= 即≥4.31*105 mm3 d≤115mm 12-17 图示简支梁,选用型号为的工字钢截面,材料的许用弯曲应力,试按正应力强度条件求梁上的许用荷截FP;再按此许用荷载求梁内的最大切应力,并说明最大切应力发生在何处? 原图12-55 题12-17图解剪力图、弯矩图见题解12-17图.Mmax =6FP/5kN·m FQmax=6FP/5 kN 题解12-17图 按正应力强度确定许用荷载 查表得 Wz=692.2*103mm3 b1=9.5mm 27.46*10mm 由强度条件 σmax=≤[σ] 得Mmax≤[σ]Wz 即*106≤80*692.2*103 FP≤46.15 kN [FP]= 46.15 kN 计算最大切应力 当FP=46.15 kN时,FQmax=55.38 kN τmax= MPa =21.23MPa 最大切应力发生在AC梁段的上下边缘处.