二项式定理及其应用概括与归纳
学习目的和要求
①,理解并掌握二项式定理,并能熟练写出二项展开式的通项,并能运用这一通项解决求指定项和指定项的系数等问题,能正确区分二项式系数,二项展开式项的系数等概念.
②,理解并掌握二项式定理的推导数学思想,并利用去解决多项式的类似问题(如三项化归二项),熟悉二项式定理在求近似值,证明整除性,证明不等式等方面的应用.
③,高考要求与动态:在高考中一般是以选择或填空题型出现,多为通项的应用和二项式系数的性质及其应用;但现在有向大题渗透综合数列,函数命题的迹象.
二,基本知识体系
①,公式:(a+b)n=++…++…+ (n∈N*)
②, I),通项公式:Tr+1=Crn·an-r·br 是第r+1项,按a的降幂排列,按b 的升幂排列
Ⅱ),注意展开式的二项式系数和展开式中项的系数的差别
Ⅲ),常用特例:(1+x)n=1+++…+; (1-x)n=1-++…+
处理问题的主要方法:特定项问题,如常数项,x2 等 扣住通项;展开式中系数和的问题 (赋值法
③二项式系数的主要性质:
(1),对称性 =
(2),增减性与最大值:注意二项式系数最大与展开式系数最大的区别;当n为奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值; 当n为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值(二项式系数前增后减,在中间取得最大值)
(3),各二项式系数的和公式→+++…+=2n; (a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和;其公式为→++…=++…=2n-1
(4),多项式(x)的各项系数之和为(1); 多项式(x)的奇数项的系数之和为,多项式(x)的偶数项的系数之和为;此实质上是赋值之后的结果而已.
(5),二项式的展开式中,求系数最大的项的方法→比较法,即记系数分别为Pr,,Pr+1,Pr-1;则 Pr最大
三,常见题型解析与规律,方法,技巧领悟
(Ⅰ)利用通项公式求展开式中的特定项问题
求二项式展开的某一项或者求满足某些条件,具备某些性质的项,其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之.
※【★题1】(2006年全国Ⅰ·文10题)在(x - )10 的展开式中,x4 的系数为( )
A -120 B 120 C -15 D 15
● 解,x4 的系数为C310(-)3 =-15
※【★题2】在二项式(3x –- )15的展开式中,①常数项为___;②有理项有几项______;③整式项有几项_____
●解,①展开式的通项为;②当r = 6时, =0,则常数项为T7 = 26C615;③当 = 5 - r为整数,则r可取0,6,12三个数,故共有3个有理项;④ 当5 - r为非负整数时,得r = 0或6,故有两个整式项.
※【★题3】在(x-1) (x+1)8的展开式中,x5的系数为( )
A -14 B 14 C -28 D 28
●解,原式= x(x+1)8 – (x+1)8,则x5的系数为-=70-56=14,从而选(B)
※【★题4】 在(x2+3x+2)5的展开式中含x 项的系数为多少
解,(1),解法一,化为(x+2)5· (x+1)5则为C15C0525+ C15C0524=240
(2),解法二,利用二项式定理推导的思想方法,则C15·3x·24=240x,则所求为240
注意:在三项展开的问题中,可将某两项看作一项,然后利用二项式定理处理;或用因式分解转化为二项展开的问题去处理.
(Ⅱ)根据题中结构特征,逆用二项式定理的问题
有些数学问题,形式上极其类似二项式定理的展开式形式,因而我们要能扣住它的展开式各项特征,适当加以变化,进而构造出定理的相应结构,达到解决问题之目的.
【★题5】①设n∈N*,则Cn1+6· Cn2+62·Cn3+…+6n-2 ·Cnn-1+ 6n-1·Cnn=_____
●解,令S=Cn1+6· Cn2+62·Cn3+…+6n-2 ·Cnn-1+ 6n-1·Cnn
则1+6S=1+6· Cn1+62·Cn2+…+6n-2 ·Cnn-2+ 6n-1·Cnn-1+ 6n·Cnn=(1+6)n=7n;∴S= (7n-1)
②化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=_____

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