第三节
有效数字及其运算法则
物理实验中经常要记录很多测量数据,这些数据应当是能反映出被测量实际大小的 全部数字,即有效数字.但是在实验观测,读数,运算与最后得出的结果中.哪些是能 反映被测量实际大小的数字应予以保留,哪些不应当保留,这就与有效数字及其运算法 则有关.前面已经指出,测量不可能得到被测量的真实值,只能是近似值.实验数据的 记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差. 因此, 有效数字是对测量结果 的一种准确表示,它应当是有意义的数码,而不允许无意义的数字存在.如果把测量结 果写成 54.2817±0.05(cm)是错误的,由不确定度 0.05(cm)可以得知,数据的第二 位小数 0.08 已不可靠,把它后面的数字也写出来没有多大意义,正确的写法应当是: 54.28±0.05(cm) .测量结果的正确表示,对初学者来说是一个难点,必须加以重视, 多次强调,才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯. 一,有效数字的概念 任何一个物理量,其测量的结果既然都或多或少的有误差,那么一个物理量的数值 就不应当无止境的写下去, 写多了没有实际意义, 写少了有不能比较真实的表达物理量. 因此,一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义,这就引入了一个有效 数字的概念.若用最小分度值为 1mm 的米尺测量物体的长度,读数值为 5.63cm.其中 5 和 6 这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的,可以认为是准确的,叫做可靠数字. 末尾数字 3 是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的,是不准确的,叫做欠准数.虽 然是欠准可疑,但不是无中生有,而是有根有据有意义的,显然有一位欠准数字,就使 测量值更接近真实值,更能反映客观实际.因此,测量值应当保留到这一位是合理的, 即使估计数是 0,也不能舍去.测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字,故测量数 据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字,有效数字数字的个 数叫做有效数字的位数,如上述的 5.63cm 称为三位有效数字. 有效数字的位数与十进制单位的变换无关,即与小数点的位置无关.因此,用以表 示小数点位置的 0 不是有效数字.当 0 不是用作表示小数点位置时,0 和其它数字具有 同等地位,都是有效数字.显然,在有效数字的位数确定时,第一个不为零的数字左面 的零不能算有效数字的位数,而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位 数.如 0.0135 m 是三位有效数字,0.0135m 和 1.35cm 及 13.5mm 三者是等效的,只不 过是分别采用了米,厘米和毫米作为长度的表示单位;1.030m 是四位有效数字.从有效 数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值, 0.0135m 是用最小刻度为毫米的尺 如 子测量的,而 1.030m 是用最小刻度为厘米的尺子测量的.因此,正确掌握有效数字的 概念对物理实验来说是十分必要的. 二,直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字(包括最后一位估计读数)都应读 出,并记录下来.仪器上显示的最后一位数字是 0 时,此 0 也要读出并记录.对于有分 度式的仪表,读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几.在记录直接测量的
有效数字时,常用一种称为标准式的写法,就是任何数值都只写出有效数字,而数量级 则用 10 的 n 次幂的形式去表示. 1.根据有效数字的规定,测量值的最末一位一定是欠准确数字,这一位应与仪器 误差的位数对齐,仪器误差在哪一位发生,测量数据的欠准位就记录到哪一位,不能多 记,也不能少记,即使估计数字是 0,也必须写上,否则与有效数字的规定不相符.例 如,用米尺测量物体长为 52.4 mm 与 52.40 mm 是不同的两个测量值,也是属于不同仪 器测量的两个值,误差也不相同,不能将它们等同看待,从这两个值可以看出测量前者 的仪器精度低,测量后者的仪器精度高出一个数量级. 2.根据有效数字的规定,凡是仪器上读出的数值,有效数字中间与末尾的 0,均应 算作有效位数.例如,6.003 cm , 4.100 cm 均是四位有效数字;在记录数据中,有时因 定位需要,而在小数点前添加 0,这不应算作有效位数,如 0.0486 m 是三位有效数字而 不是四位有效数字,有效数字中的 0 有时算做有效数字,有时不能算做有效数字,这对 初学者也是一个难点,要正确理解有效数字的规定. 3.根据有效数字的规定,在十进制单位换算中,其测量数据的有效位数不变,如 4.51 cm 若以米或毫米为单位,可以表示成 0.0451 m 或 45.1 mm,这两个数仍然是三位 有效数字.为了避免单位换算中位数很多时写一长串,或计数时出现错位,常采用科学 表达式,通常是在小数点前保留一位整数,用 10n 表示,如 4.51×102m,4.51×104cm 等,这样既简单明了,又便于计算和确定有效数字的位数. 4.根据有效数字的规定对有效数字进行记录时,直接测量结果的有效位数的多少, 取决于被测物本身的大小和所使用的仪器精度,对同一个被测物,高精度的仪器,测量 的有效位数多,低精度的仪器,测量的有效位数少.例如,长度约为 3.7cm 的物体,若 用最小分度值为 1mm 的米尺测量,其数据为 3.70cm ,若用螺旋测微器测量(最小分 度值为 0.01mm ),其测量值为 3.7000cm ,显然螺旋测微器的精度较米尺高很多,所以测 量结果的位数也多;被测物是较小的物体,测量结果的有效位数也少.对一个实际测量 值,正确应用有效数字的规定进行记录,就可以从测量值的有效数字记录中看出测量仪 器的精度.因此,有效数字的记录位数和测量仪器有关. 三,有效数字的运算法则 在进行有效数字计算时,参加运算的分量可能很多.各分量数值的大小及有效数字 的位数也不相同,而且在运算过程中,有效数字的位数会越乘越多,除不尽时有效数字 的位数也无止境.即便是使用计算器,也会遇到中间数的取位问题以及如何更简洁的问 题.测量结果的有效数字,只能允许保留一位欠准确数字,直接测量是如此,间接测量 的计算结果也是如此.根据这一原则,为了达到:①不因计算而引进误差,影响结果; ②尽量简洁,不作徒劳的运算.简化有效数字的运算,约定下列规则: 1.加法或减法运算 478.2 + 3.462 = 481.662 = 481.7

下一页