第二节
微积分基本公式
一,问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动,已知速度 v = v (t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且 v ( t ) ≥ 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
另一方面,设位置函数为:s(t ) 这段路程又可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 ∴ ∫T v ( t )dt 1
T2 变速直线运动的路程为 ∫T v ( t )dt 1
= s(T2 ) s(T1 ). 其中 s′( t ) = v ( t ).
二,积分上限的函数及其导数
设函数 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续 , 并且设 x 为 [a , b]上 的一点, 考察定积分
f ( x )dx = ∫a f ( t )dt 如果上限 x 在区间 [a , b] 上任意变动,
x
∫a
x
x
则对于每个取定的 x 值 , 定积分 ∫a f ( t )dt有一个对应值 ,
所以,它在 [a , b] 上定义了一个函数 .
记 Φ( x ) =
x ∫a
f ( t )dt , (a ≤ x ≤ b ) 积分上限的函数
积分上限的函数的性质
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 则积分上限的
x 函数 Φ ( x ) = ∫a f ( t )dt 在 [a , b] 上具有导数 , 且导数
d x Φ' ( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ), x ∈ [a , b] dx
证 1,若 x ∈ ( a , b ), 给 x 一个增量 Δx 取 | Δx | 足够小, 使
y
Φ( x )
x + Δx ∈ ( a , b ) x + Δx Φ( x + Δx ) = ∫a f ( t )dt
ΔΦ = Φ( x + Δx ) Φ( x )
=∫
x + Δx a
o
a
x
x + Δx b
x
f ( t )dt ∫ f ( t )dt
a
x
= ∫a f ( t )dt + ∫x

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