《计算机图形学原理及算法教程》 (Visual C++版)和青芳 清华大学出版社出版
第七章 几何造型技术
一般说,几何造型技术研究在计算机中如何表达物体模型形状的技术.在几何造型系统中, 描述物体的三维模型有三种,即线框模型,表面模型和实体模型.线框模型用顶点和棱边来表示 物体,由于没有面的信息,所以不能表示表面含有曲面的物体;另外,它不能明确地定义给定点 与物体之间的关系(点在物体内部,外部或表面上),所以线框模型不能处理许多问题,如不能 生成剖切图,消隐图,明暗色彩图,不能用于数控加工等,应用范围受到了很大的限制. 表面模型用面的集合来表示物体,而用环来定义面的边界.表面模型扩大了线框模型的应用 范围,能够满足面面求交,线面消隐,明暗色彩图,数控加工等需要.但在该模型中,只有一张 张面的信息,物体究竟存在于表面的哪一侧,并没有给出明确的定义,无法计算和分析物体的整
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体性质,如物体的表面积,体积,重心等,也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体 相互关联的性质,如是否相交等. 实体模型是最高级的模型,它能完整表示物体的所有形状信息,可以无歧义地确定一个点是 在物体外部,内部或表面上,这种模型能够进一步满足物体计算,有限元分析等应用的要求.本 章我们主要介绍实体造型技术的有关问题,并简单介绍最近发展起来的分形造型技术. 7.1 实体的表示模型 早期实体造型系统一个共同的特点是用多面体表示形体,不支持精确的曲面表示,优点是数 据结构相对简单,集合运算,明暗图的生成和显示速度快;缺点是同一系统表示不唯一,违背了 几何定义唯一性原则,而且只是近似表示,存在误差,若要提高表示精度就要增加离散平面片的 数量,庞大数据量影响计算速度和计算机的存储管理.早期的几何造型系统还有一个特点,就是
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只支持正则的形体造型.正则形体集(R-Set)的概念为几何造型奠定了初步的理论基础.对于 任一形体,具有 3 维欧氏空间 中非空,有界的封闭子集,且其边界是二维流形(即该形体是连
通的),我们称该形体为正则形体,否则称为非正则形体.图 7-1 给出了一些非正则形体的实例. 所谓二维流形(2-manifold)是指这样一些面,其上任一点都存在一个充分小的邻域,该邻域与 平面上的圆盘是同构的,即在该邻域与圆盘之间存在连续的一一映射. 对实体模型的表 示基本上可以分为 分解表示, 构造表示 和边界表示三大类. 图 7-1 非正则形体
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7.1.1 分解表示 分解表示是将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分.分解表示的一种特殊形式是每 一小的部分都是一种固定形状(正方形,立方体等)的单元,形体被分解成这些分布在空间网格位 置上的具有邻接关系的固定形状单元的集合,单元的大小决定了单元分解形式的精度.根据基本 单元的不同形状,常用四叉树,八叉树和多叉树等表示方法. 分解表示中常见的表示方法是将形体空间细分为小的立方体单元,在计算机内存中对应开辟 一个三维数组.形体占有的空间,存储单元中为 1;否则空间为 0.这种表示方法简单,容易实 现形体的交,并,差计算,但是占用的存储量太大,物体的边界面没有显式的解析表达式,不便 于运算,实际应用中一般不采用.
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图 7-2 是八叉树表示形体的一个实例.八叉树法表示形体的过程是这样的,首先对形体定义 一个外接立方体,再把它分解成八个子立方体,并对立方体依次编号为 0,1,2,…,7.如果子 立方体单元已经一致,即为满(该立方体充满形体)或为空(没有形体在其中), 则该子立方体可停止分解;否则,需要对该立方体作进一步分解,再一分为八个子立方体. 在八叉树中,非叶结点的每个结点都有八个分支.八叉树表示法有一些优点,近年来受到人们的 注意.这些优点主要是:

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