第一章
第二节 数学建模简介与 建立函数关系举例
一,数学建模简介 二,建立函数关系举例
一,数学建模简介
数学模型: 数学模型是一种抽象的模拟,它用数学 符号数学式子,程序,图形等刻画客观事物的本质 属性与内在联系,也就是对现实问题作出一些必要 的简化,假设,运用适当的数学工具,得到的一个 数学结构,简称模型. 例如:万有引力定律是牛顿运用微积分刻画天体 运行这一宇宙现象的数学模型.它是科学发展史上 最成功的模型之一. 建立数学模型简称为数学建模.
数学建模的步骤: (1)了解问题的实际背景,明确建模目的,掌握 数据资料; (2)抓住主要矛盾,对问题进行简化,提出合理假设; (3)利用适当的数学工具,建立数学模型; (4)求解所建立的数学模型; (5)分析和检验模型的解,以验证模型的正确性. 建模的步骤如下图所示 现实对象的信息 应用 假设
反复
建模 求解
验证
数学模型的分类 按应用领域分: 人口模型,交通模型,生态模型,经济模型等; 按建模目的分: 描述模型,分析模型,预报模型,优化模型, 决策模型,控制模型等;
按模型中变量的特征分: 连续模型,离散模型,线性模型,非线性模型, 静态模型,动态模型等; 按建模的数学方法分: 初等数学模型,几何模型,微分方程模型, 图论模型等; 按对模型结构的了解程度分: 白箱模型,黑箱模型,灰箱模型等;
二,建立函数关系举例
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示, 写出电压U 与时间 t ( t ≥ 0) 的函数关系式.
τ 解 当 t ∈ [0, ] 时 , 2 2 E E U = t = t; τ τ
U
E
t ( t ≥ 0 )
τ ( ,E) 2
τ 当 t ∈ ( , τ ]时 , 2
2
o
τ 2
( τ ,0 )
t
单三角脉冲信号的电压
E 0 U 0= ( t τ ), 即 U = 2 E ( t τ ) τ τ τ 2
当 t ∈ ( τ , +∞ ) 时 , U = 0.
∴ U = U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
τ ( , E) 2
o
2E τ t, t ∈ [0, ] τ 2 2E τ U (t ) = ( t τ ), t ∈ ( , τ ] 2 τ 0, t ∈ ( τ ,+∞ )
τ 2
(τ ,0)
t
例2 有一半径为a的半球形碗,在碗内随机放入 一根质量均匀,长度为 l ( 2 a < l < 4 a ) 的细杆, 试建立细杆的中心所在位置的函数关系. 解 将问题简化在平面坐标系中. 设G(x,y)为细杆中心, 细杆与y 轴交角为θ, 于是
x = CG = GB sinθ .
y = OB CB = a GB cos θ
a
A

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