第五章 守恒定律与正则运动方程
广义地说, 对称性是一个对象在某种变换下不变的特征. 例如正方形的对称性体现为正 方形转动 90 度保持几何形状不变,这是物体的几何对称性;把一个铁球放在水平板上不同 的位置,开始静止则以后也静止,与摆放位置无关,即平移不变,这是空间平移对称性;昨 天的铯原子振动频率和今天的没什么不同, 它在时间流逝中不变, 反映时间具有平移对称性. 物理的基本规律和对称性有着密切而深刻的联系. 我们已经看到, 物理规律在伽利略或 洛伦兹变换下保持不变的要求规定了时空的基本特性. 为了使得力学规律在任意局域坐标变 换下不变,得到了引力理论——广义相对论.本章我们将讨论对称性与守恒定律的联系.注 意,守恒定律是应用了运动方程(拉格朗日方程)之后才得到的,所以是系统沿真实物理轨 迹演化的性质.在应用运动方程之前,我们有时要考虑坐标和速度沿虚轨迹演化,此时守恒 定律不适用. 具有可加性的时间不变量是特别重要的物理量,通常称为守恒量.在力学中,与时空 对称性相联系的守恒量有动量, 角动量和能量. 事实上封闭的保守系统只有这三个不变量具 有可加性. 我们经常对这样的物理过程感兴趣: 系统开始时由没有相互作用的一些简单的子 系统构成;随着时间演化,子系统之间开始发生相互作用;经过一段时间后,系统再度成为 一些相互独立的无相互作用的子系统.这种过程称为散射过程.在散射过程的早期,系统的 守恒量是各子系统相应物理量之和,一般比较容易知道.在相互作用阶段,系统演化方程常 常难以求解, 甚至连相互作用的准确形式都不知道. 但是守恒定律却可以让我们准确地预言 散射末态的一些性质.这归功于守恒量不随时间变化和具有可加性的特点. 虽然在第一章已经在牛顿力学的基础上讨论过能量守恒和动量守恒,鉴于守恒定律的 重要性, 本章前面 4 节将以拉格朗日程式再次研究守恒定律, 重点在说明守恒定律与对称性 的关系. 在拉格朗日程式中, 守恒量的定义和守恒定律逻辑上已经隐藏在拉格朗日量的对称 性中.我们分别从空间平移对称性,空间转动对称性和时间平移对称性推导动量守恒定律, 角动量守恒定律和能量守恒定律. 由广义坐标和广义动量构成的相空间在描写系统时间演化时比较方便.本章第 5 节以 后将介绍哈密顿正则运动方程, 这是一套通过相空间的函数——哈密顿量描写系统演化的程 式. 正则运动方程可以用抽象的泊松括号表示出来. 泊松括号的代数结构具有深刻几何意义, 和对称性有密切联系.这一点在量子力学中有很好的体现,这里将不展开讨论.哈密顿程式 能够容易地得到与时间无关的循环积分,能量守恒定律体现为哈密顿量不显含时间. 5.1 广义动量 保守系统的拉格朗日方程共有 n 条( n 为自由度数目) ,是一套二阶微分方程组.原则
& ,则 上有 2n 个积分常数.如果拉格朗日量不显含某一个广义坐标,比如 q (但可以含 q )
很容易得到所谓循环积分.因为
α
α
L =0 qα
由拉格朗日方程马上得到
(5.1)
d L =0 & dt qα
103
(5.2)
从(5.2)式得到积分常数
pα =
L & qα
(5.3)
称为广义动量.它线性地依赖于拉格朗日量,故由拉格朗日量的可加性(见(4.30)式)导 致广义动量的可加性, 即如果系统由一些无相互作用的子系统构成, 则系统的动量等于各子 系统的动量之和.
& (5.3)式中对拉格朗日量的偏导可以写成对动能项的偏导.那么, 若势能项不显含 q ,
只要系统的动能项具有相加性,广义动量便具有相加性.一般物理系统都满足这个要求. 5.2 空间平移与动量守恒 (1) 动量守恒 在笛卡儿坐标中,N 质点系统的拉格朗日量
N 1 &2 L = T V = ∑ mλ xλ V ( x, t ) λ =1 2
α
(5.4)
其中 x 是所有质点坐标的缩写.假想系统沿空间的某一方向(设为 i 方向)作无限小平移,
i i xλ → xλ + ε ,
λ = 1,2,L, N
V ( x, t ) ε i xλ λ =1
N
(5.5)
动能项在平移下是不变的.势能项变成
V ( x, t ) → V ′( x, t ) = V ( x, t ) + ∑
(5.6)
如果系统具有空间平移不变性,即 V = V ′ ,则由上式得
∑ λ
N

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