多元函数积分学练习题
§1 二重积分
1.计算二重积分
a ( x) b ( y ) dxdy ,其中 是连续函数, a , b 为常数. ( x) ( y ) x 2 y 2 r 2
b b 2.设一元函数 f 在 [a, b] 上连续,证明 f ( x)dx (b a) [ f ( x)]2 dx . a a
2
3.设一元函数 f 在 [0, 1] 上连续,且 f ( x)dx A ,求 dx f ( x) f ( y)dy .
0 0 x
1
1
1
4.设一元函数 f 在 [a, b] 上连续,证明
b a
dy ( y x) n 1 f ( x)dx
a
y
1 b n a (b t ) f (t )dt . n
5.计算下列二重积分: (1) e dxdy ,其中 D 是由抛物线 y 2 x ,直线 x 0 , y 1 所围的闭区域;
D x y
(2)计算 sin( x y) dxdy ,其中 D 为直线 x 0 , y 0 和 x y
D
2
所围的闭区
域; (3) ydxdy ,其中 D 是圆 x 2 y 2 ax 与 x 2 y 2 ay 的公共部分( a 0 ) ;
D
(4) x 2 y 2 dxdy ,其中 D 是由抛物线 x 2 y 2 1 与曲线 r 1 cos 所围闭
D
区域中右面的一个; (5) ( x 2 y 2 x)dxdy ,其中 D 是由椭圆
D
x2 y2 1 所围的闭区域; a2 b2
(6)
D
y ( x y )2 e dxdy , 其中 D 是由直线 x y 1 ,y 0 ,x 0 所围的闭区域; x y
(7) xydxdy,其中 D 是由抛物线 y x 2 , y
D
1 2 1 x , x y 2 , x y 2 所围的 4 4
闭区域. 6.设一元函数 f 在原点附近可微,且 f (0) 0 ,求极限
t 0
lim
x 2 y 2 t 2
f (

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