一,
填空题
f ( x)
(1) 设 y = f ( ln x ) e 【答】 【详解】
其中 f 可微,则 dy = _________________.
1 e f ( x ) f ′ ( ln x ) + f ′ ( x ) f ( ln x ) dx x dy = d f ( ln x ) e f ( x ) = df ( ln x ) e f ( x ) + f ( ln x ) de f ( x ) 1 = f ′ ( ln x ) dx e f ( x ) + f ( ln x ) e f ( x ) f ′ ( x ) dx x 1 = f ′ ( ln x ) dx e f ( x ) + f ( ln x ) e f ( x ) f ′ ( x ) dx x
(2) 若 f ( x ) = 【答】 【详解】 则
π
4 π
设
1
1 1 1 + 1 x 2 ∫ f ( x ) dx, 则 ∫ f ( x ) dx = _______________. 2 0 0 1+ x
∫ f ( x ) dx = A,
0
A = ∫ f ( x ) dx = ∫
1 0
1 dx + A ∫ 1 x 2 dx 2 0 1+ x 0 1
1 A 1 π π = arctan x + arcsin x + x 1 x 2 = + A 0 2 0 4 4
故A=
(
)
π
4 π
.
t
(3) 差分方程 yt +1 yt = t 2 的通解为 yt = ____________. 【答】
C + ( t 2 ) 2t
【详解】 齐次差分方程 yt +1 yt = 0 的通解为 C.C 为任意常数 设 ( at + b ) 2 是差分方程 yt +1 yt = t 2t 的一个特解,则 a = 1, b = 2. 因此
t
yt = C + ( t 2 ) 2t 为所求通解.
(4) 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + x2 + x3 + 2 x1 x2 + tx2 x3 是正定的,则 t 的取值范围
2 2 2
是_______. 【答】 【详解】
2
2 1 1 0
解得 2 < t 0, 2 1
2
(5) 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N 0,3 分别式来自总体 X 和 Y 的简单随机样本,则统计量 U = 分布,参数为_____________. 【答】
(