习题 2
2.1 节 P2.1. 在笛卡尔坐标系中线积分的计算. 对矢量场 F = yax - zay + xaz, 对下列从(0,0,0) 到(1,1,1)的每一条路径求
(1,1,1) (0,0,0)
F d l :(a) x = y = z 和(b) x = y = z3.
P2.2. 在笛卡尔坐标系中环绕闭合路径的线积分的计算.假设 F = xyax + yzay + zxaz, 求 F d l ,其中 C 是构成从(0,0,0)到(1,1,1),从(1,1,1)到(1,1,0)和从
C
(1,1,0)到(0,0,0)的直线的闭合路径. P2.3. 在笛卡尔坐标系中线积分的计算.对矢量场 F = cosy ax – xsiny ay,以下列 每一种途径求
(1,2 ,1) (0,0,0)
F d l :(a)沿两点之间的直线路径;(b) 沿两点之间的曲线
路径 x = z = sin(y/4);以及 (c) 不选择任何特殊路径.此矢量场是守恒的 还是不守恒的 请解释. P2.4. 在圆柱坐标系中环绕闭合路径的线积分的计算.假设在圆柱坐标系中 A = 2rsin ar + r2a + zaz,求 A d l ,其中 C 是构成从(0,0,0)到(1,0,0)的直线,
C
从(1,0,0)到(1,/2,0)穿过(1,/4,0)的圆弧,从(1, /2,0)到(1,/2,1) 的直线和从(1,/2,1)到(0,0,0)的直线的闭合路径. P2.5. 在球坐标系中线积分的计算.假设在球坐标系中 A = e-r(cos ar + sin a) + rsin a,以下列每一种途径求 A d l :(a) 从(0,0,0)到(2,0,0)的直线路
C
径;(b) 从(2,0,/4)到(2,/2,/4)穿过(2,/4,/4)的圆弧;以及 (c) 从 (2,/6,0)到(2,/6,/2)穿过(2,/6,/4)的圆弧. 2.2 节 P2.6. 在笛卡尔坐标系中闭合面积分的计算.假设 A = x2yz ax + y2zxay + z2xyaz, 计算 A d S ,其中 S 是由平面 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 和 z
S
= 1 围成的小立方体的曲面. P2.7. 在笛卡尔坐标系中闭合面积分的计算.假设 A = (x2y + 2)ax + 3ay + 2xyz az, 计算 A d S ,其中 S 是由平面 x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0 和 z
S
= 3 围成的矩形盒子的曲面.
P2.8. 在圆柱坐标系中闭合面积分的计算.假设在圆柱坐标系中 A = rcos ar + rsin a,计算 A d S ,其中 S 是由平面 = 0, = /2, z = 0, z = 1 以及
S
圆柱曲面 r = 2, 0< 0, y > 0, z > 0 和 x2 + y2 + z2 < 1,(x,y,z) = 0(xyz). P2.22. 求从包围电荷的曲面输出的位移通量.对下列每一种电荷分布,求从包围电荷的 曲面输出的位移通量:(a) 对于在圆柱坐标系中 r < 1, 0 < z < 1,(r,,z) = 0 e - r ;以及 (b) 对于在球坐标系中 r < 1, 0 < < /2,(r,,) =
2
(0/r)sin2. P2.23.积分形式的磁场高斯定律的应用.利用性质

S
B d S = 0,设由 x = 0, x = ,
z = 0 和 z = 1 围成曲面 y = sinx,对于 B = B0(yax - xay) Wb/m2,求 穿过曲面部分的磁通量的绝对值. 2.6 节 P2.24. 电荷守恒定律的应用.假设 J = (xax + yay + zaz) A/m2,求在下列每一个 体积内包含的电荷随时间的下降率:(a) 由平面 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 和 z = 1 围成的体积;(b) 由圆柱 r = 1 和 r = 2 以及 平面 z = 0 和 z = 1 围成的体积;以及 (c) 由球面 r = 1 和 r = 2 以及圆锥面 = /3 围成的体积. P2.25. 几个积分形式的麦克斯韦方程的综合应用. 电流 I 从位于原点处的点电荷 Q1(t) 沿直导线流到位于(0,0,1)处的点电荷 Q2(t), H 沿正方形闭合路径的线积分, 求 路径的顶点在(1,1,0),(-1,1,0),(-1,-1,0)和(1,-1,0)处并依次穿过.

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