矩阵的拟积运算
数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 105012004034 张玲 指导老师:辛林
【摘 要】对于 A , B 两个 n 阶方阵,构造新的运算,称为拟积: A e B 计算,对我们加深学习高等代数与抽象代数有重要的意义. 【关键词】矩阵;运算;秩
= A + B AB
,研究在这种拟积下的矩阵性质和
利用矩阵的通常代数运算,给出一种新的运算,我们称其为拟积运算.本文研究在这种拟积运算下 一些通常矩阵性质和计算.
1.矩阵环
设 R 是一个非空集合,如果在 R 上定义了两个代数运算"+"与"-" ,一个叫加法,记为 a + b , 另一个叫乘法,记为 ab ,并且他们满足: ⑴ R 关于加法构成一个交换群; ⑵乘法结合律成立:对 R 中任意元素 a,b,c ,有 ( a b) c = a (b c ) ; ⑶乘法对加法两个分配律成立,即对任何 a,b,c ∈ R ,有
a (b + c) = a b + a c, (左分配律) , (b + c) a = b a + c a, (右分配律) ,
则称 R , +, 为环, 或简称 R 为一个环 ring ) .[1] ( ) ( 如果环 R 的乘法还适合交换律, 即对任意 a, b ∈ R , 总有 ab = ba ,则称 R 为交换环. 否则称 R 是非 交换环.如果环 R 中有一个元素 e 具有性质:对于 R 中任意元素 a ,有 ae = ea = a ,则称 e 是 R 的单位 元素,称 R 是有单位元的环,通常把 R 的单位元就记成 1. [1] 现设 R = K
n ×n
是数域 K 上的 n 阶矩阵环,显然如果 n > 1 , R 不是交换环.
设 R 和 R′ 是 两 个 环 , 如 果 R 到 R′ 有 一 个 双 射 δ 满 足 : 对 于 所 有 的 a,b ∈ R , 有
δ (a + b) = δ (a) + δ (b), δ (a b) = δ (a)δ (b) (即 δ 保持加法和乘法运算) ,则称 δ 是环 R 到 R′ 的一个
同构映射或同构,此时称环 R 和 R′ 是同构的,记作 R R′ .[1]
引理 1 设 ( R, +,g) 是有单位元 1 的环,在 R 中规定新的代数运算 ⊕ 和 e : a ⊕ b = a + b 1 , a e b = a + b ab ,
则 ( R , ⊕, e) 是一个有单位元 0 的环,并且存在环同构 ( R , ⊕, e) ( R, +,g).
-1-
证:显然 ( R , ⊕, e) 是一个有单位元 0 的环. 设 σ : ( R, ⊕, e) → ( R, +,g) 使 σ ( a ) = 1 a , a ∈ R , 则 σ 是同构映射.事实上,
σ (a e b) = 1 a e b = 1 a b + ab = (1 a)(1 b) = σ (a )σ (b), σ (a ⊕ b) = 1 a ⊕ b = 1 (a + b 1) = 1 a + 1 b = σ (a ) + σ (b).
下面考察矩阵环 R = K 阵的特征值等.
n× n
是数域 K 上的矩阵环时的情况.如矩阵秩,线性方程组与矩阵的关系,矩
定义 1 对 R = K n×n ,若 A ,B 都为数域 K 上 n 阶方阵,称 A e B = A + B AB 为矩阵 A ,B 的
拟积.
2.矩阵拟积运算下的性质
引理 2 矩阵的拟积运算的基本性质
(1) 结合律: ( A e B ) e C = A e ( B e C ) , (2) A e B = B e A 当且仅当 AB = BA . 证: (1)可从(R, ⊕ , e )是环得到,因此拟积运算满足结合律,
(A e B) e C = A e B + C ( A e B)C = A + B AB + C ( A + B AB)C = A + B + C AB AC BC + ABC A e ( B e C ) = A + B e C A( B e C ) = A + B + C BC A( B + C BC ) = A + B + C AB AC BC + ABC
所以 ( A e B ) e C = A e ( B e C ) . (2) A e B = A + B AB = A + B BA = B e A 当且仅当 AB = BA . 对同阶矩阵 A, B ,有

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