基础篇之七
第 7 章 梁的弯曲问题(3)-应力分析与强度计算
弯曲时, 由于横截面上应力非均匀分布, 失效当然最先从应力最大点处发生. 因此,进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的"危险截面" ,而且要考虑应力 最大的点,这些点称为"危险点" . 本章首先介绍梁的平面弯曲正应力与弯曲剪应力的分析过程及其结果; 然后 采用叠加方法确定斜弯曲以及弯曲与轴向载荷同时作用时横截面上的正应力; 最 后介绍弯曲强度计算.
7-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
7-1-1 梁弯曲的若干定义与概念
对称面- 梁的横截面具有对称轴,所有相同的对称轴组成的平面,称为梁的对称面 (symmetric plane). 主轴平面- 梁的横截面没有对称轴,但是都有通过横截面形心的形心主轴,所有相同 的形心主轴组成的平面,称为梁的主轴平面( plane including principal axes).由于对称轴也 是主轴,所以对称面也是主轴平面;反之则不然.以下的分析和叙述中均使用主轴平面. 平面弯曲- 所有外力(包括力偶)都作用于梁的同一主轴平面内时,梁的轴线弯曲后 将弯曲成平面曲线,这一曲线位于外力作用平面内 ,如图 7-1 所示.这种弯曲称为平面弯 曲(plane bending) .
图 7-1 平面弯曲
纯弯曲- 一般情形下,平面弯曲时,梁的横截面上一般将有两个内力分量:剪力和弯 矩.如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量,这种平面弯曲称为纯弯曲(pure banding) . 图 7-2 中的几种梁上的 AB 段都属于纯弯曲.纯弯曲情形下,由于梁的横截面上只有弯矩, 因而,便只有垂直于横截面的正应力.
1
横向弯曲-梁在垂直梁轴线的横向力作用下, 其横截面上将同时产生剪力和弯矩. 这时, 梁的横截面上不仅有正应力,还有剪应力.这种弯曲称为横向弯曲,简称横弯曲(transverse bending).
图 7-2
纯弯曲实例
7-1-2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析
分析梁横截面上的正应力, 就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩, 横截面的形状 和尺寸之间的关系.由于横截面上的应力是看不见的,而梁的变形是可见的,应力又和变形 有关,因此,可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布.
应用平面假定确定应变分布 梁的中性层与横截面的中性轴
如果用容易变形的材料, 例如橡胶, 海绵, 制成梁的模型, 然后让梁的模型产生纯弯曲, 如图 7-3a 所示.可以看到梁弯曲后,一些层发生伸长变形,另一些则会发生缩短变形,在 伸长层与缩短层的交界处那一层,既不发生伸长变形,也不发生缩短变形,称为梁的中性层 或中性面(neutral surface) (图 7-3b) .中性层与梁的横截面的交线,称为截面的中性轴 (neutral axis).
(a) 图 7-3
(b) 梁横截面上的正应力分析
中性轴垂直于加载方向,对于具有对称轴的横截面梁,中性轴垂直于横截面的对称轴. 横截面中性轴两侧材料分别受拉应力与压应力.
梁弯曲时的平面假定
若用相邻的两个横截面从梁上截取长度为 dx 的一微段(图 7-4a) ,假定梁发生弯曲变 形后,微段的两个横截面仍然保持平面,但是绕各自的中性轴转过一角度 dθ ,如图 7-22b
2
所示.这一假定称为平面假定(plane assumption) .
沿梁横截面高度方向分布正应变表达式
根据平面假定,在横截面上建立 Oxyz 坐标系,如图 7-4b 所示,其中 z 轴与中性轴重 合(中性轴的位置尚未确定) 轴沿横截面高度方向并与加载方向重合. ,y 在图示的坐标系中,微段上到中性面的距离为 y 处长度 AA相对于未变形时的长度(图 中中性层 OO的长度)改变量为:
Δdx=-ydθ
(7-1)
式中的负号表示 y 坐标为正的那一层材料产生压缩变形;y 坐标为负的那一层材料产生伸长 变形. 将长度改变量除以原长 dx,得到 y 坐标处一层材料的正应变,也是横截面上到中性轴 距离为 y 处各点的正应变.于是,由式(7-1)得到
ε=
Δdx dθ y =-y =- dx dx ρ dθ dx
(7-2)
这就是梁弯曲时,正应变沿横截面高度方向分布表达式.其中
1
ρ
=
(7-3)
从图 7-4b 中可以看出, ρ 就是中性层弯曲后的曲率半径,也就是梁的轴线弯曲后的曲率

下一页