第三单元 函数的单调性与曲线的凹凸性
一,本单元的内容要点
1.函数单调性的判别法 设 f ∈ C[ a , b] ∩ D ( a , b), 若x∈(a, b), 有 f ′( x) > 0 ( < 0 ) 则f (x)在[a, b]上是单调增加(减少). 若当x∈I 时,有 f ′( x) ≥ 0 ( ≤ 0 ),且使得 f ′( x) = 0 的 点(驻点)在I的任何有界子区间内只有有限多个,则f (x) 在I上单调增加(减少).
2.函数图形凹凸性及其判别法 ⑴定义 设I 是一个区间,若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成
立不等式
x1 + x2 f ( x1) + f ( x2 ) x1 + x2 f ( x1) + f ( x2 ) f f , 2 2 2 2
则称函数f (x)(x∈I )的图形是凹(凸)弧. ⑵判别法 设函数在区间上二阶可导,且 f ′′( x) > 0 ( 0 ,则 f (x)在[a ,b]上单调 增加; ⑵如果,x∈(a ,b)有 f ′( x) < 0,则 f (x)在[a ,b]上单调 减少. 证 在[a ,b]任取两点x1, x2, 其中x10, 即 f ( x1 ) < f ( x2 ), 此即说明f (x)在[a ,b]上单调增加;同理可证:若 x∈(a ,b)有 f ′( x) 0
( x ∈ ( 0, 2π ) ) ,由判定定理得
函数y=x-sinx在[0, 2π]上是单调增加的. 注 对无穷区间,相应的定理为 若当x∈(-∞, +∞) 时,有 f ′( x) ≥ 0 ( ≤ 0 ) ,且使 定理 1′
得 f ′( x) = 0 的点(驻点)在(-∞, +∞)的任何有界子区间内 只有有限多个,则 f (x)在(-∞, +∞)上单调增加(减少). 由此得到,函数y=x-sinx在(-∞, +∞)上是单调增加 的.
有些函数在它的整个定义区间上不是单调的,对于在 定义区间上具有连续导数的函数,用函数的驻点来划分 定义区间后,则函数在各个部分区间上是单调的.
例2 讨论函数 f ( x) = e x x 1 的单调性. 解 函数 f ( x) = e x x 1的定义域为(-∞, +∞),并且
f ′( x) = e x 1,
令 f ′( x) = 0 x=0, 且当 x∈(-∞, 0)时,f ′( x) 0,即 f (x)在(-∞, 0)内单调下降, 在(0, +∞)内单调上升.
-2 -1 2 1.5
1
0.5
1
2
如果函数在定义区间内某些点处不可导,那么在划分 定义区间时,分点还应包括这些导数不存在的点. 例3 确定函数 f ( x ) = ( x 1) x 的单调区间.
1 3
解
f (x)的定义域是(-∞, +∞),并且在(-∞, +∞)中连续
当x≠0时,有
f ′( x) =
4x 1 x
2 3
,
1 当 x = 时,f ′( x) = 0 ,当x=0时,导数不存在,用 4
1 x=0, 即 x = 4
将定义域区间划分成三个部分小区间:
1 1 (∞,0), (0, ), ( , +∞), 4 4
现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如
x + ( 1( 1) 0′ x 1 f∞,0) 0, ,+∞ 4 4 4
下(表中 表示单调增加, 表示单调减少):
+ 0 ( x) f
x
(∞,0)
+
0
不存在

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