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第七章 对称性原理
这一章讨论体系的对称性和对称操作的群表示.对称性在理论上十分漂亮,在实践中非常有用,
值得花费精力学习.
§7.1 对称与守恒
自然界的对称性与守恒是美丽的.对物理体系施加一定的操作,如果体系的某些性质具有关于
该操作的对称性,则某些物理量在该操作下就不会改变,于是就有了关于这一操作的守恒量.例如,
如果体系的哈密顿算符H^与平移算符D^对易:
D^H^H^D^= 7.1.1
若
ψψE=H^ 7.1.2
则有
ψψψD^H^D^D^H^E== 7.1.3
即:ψD^仍是H^的本征值为E的本征态.体系的平移前与平移后的能量并不改变,因此我们有能量
关于平移的守恒.
在众多的对称性质中,哈密顿算符H^的对称性质是最重要的,这是因为描述体系运动的最基本
定律是薛定谔方程.在这一章中先讨论体系关于平移,旋转,宇称,时间反演的对称性,再以分子
点群为例介绍对称群的表示,最后以轨道相互作用,对称性守恒原理和前线轨道理论为例展示对称
性原理的应用.
I. 坐标平移不变性与动量守恒
我们关于物理体系的一个信条是:物理规律在自由空间中的平移下不变,否则薛定谔方程在讲
台上适用,到了课桌上就不适用了.
对于一个体系刚性地平移一段距离a的操作D^是用如下的幺正算符表示的:
pa
a
^
)(D^
=h
i
e 7.1.4
式中p^为总动量算符.前面已经谈到平移不变性的一个结果是能量守恒.显然,任何一个使哈密顿
算符保持不变的对称操作都保证能量守恒.因此,以下我们将讨论其它的守恒物理性质.由7.1.4得
知
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[]0^,D^=p 7.1.5
取它关于动量空间的矩阵元就有
[]()0D^''^,D^'= =ppppppp 7.1.6
这表明:除非体系初态总动量和末态总动量相同,否则D^的动量空间矩阵元为零,也就是说,平移
过程中总动量守恒.
II. 旋转不变性与角动量守恒
物理规律在自由空间中的旋转下不变,这是我们关于物理体系的又一个信条.在量子力学中旋

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