从三角求和公式到 Fourier 级数
林琦焜
1. Gauss 之启发:
关於高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777–1855), 最为人所津津乐道的故事, 莫过於在小 学低年级时老师要班上同学求从 1 到 100 的和等於多少. 高斯很快就得到正确答案 5050. 这 著实令他的老师十分惊讶, 随后高斯解释说, 首先从 1 到 100 写一次, 而后再从 100 到 1 倒 写回来, 两者垂直相加, 可发现每项都是 101, 共有 100 项, 100 × 101 = 10100, 再除以 2 就 是 5050. 诚如历史上许多名人都有许多著名的故事, 故事的真实性, 历史性如何 是否真的发生 我 想那已经无关紧要, 重要的是这个事件本身的意 义. 从数学的角度而言, 高斯这个故事告诉我们 思考模型的重要性, 这个问题的思考模型是阶梯 之个数, 或者是保龄球之球瓶数, 也就是三角形
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图一 之面积, 而三角形面积的求法是将原三角形倒转两个合并之后, 成为平行四边形. Gn = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + n Gn = n + (n 1) + (n 2) + + 2 + 1
两者垂直相加 2Gn = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) 所以 Gn = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + n = 在三角函数有一个著名的公式 sin θ + sin 2θ + sin 3θ + + sin nθ =
11
n(n + 1) 2
(1.1)
sin n θ sin n+1 θ 2 2 θ sin 2
(1.2)
12 数学传播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月
乍看之下 (1.1), (1.2) 这两个公式实在是太像了, 首先由等比级数求和公式可得 θ + 2θ + 3θ + + nθ = 两边同时乘个 sin (英文罪也!) n(n + 1) θ 2 再故意将 sin 分配至各项 (姑且不管乘法或加法), 左式正好是公式 (1.2) 的左式, 而右式则是 sin(θ + 2θ + 3θ + + nθ) = sin
θ (1.2) 的分子, 因此再除以 sin 2 , 正好是公式 (1.2)! 严格证明如下.
n(n + 1) θ 2
法一: 我们现在就尝试利用高斯的方法来证明公式 (1.2), 令 Sn = sin θ + sin 2θ + + sin(n 1)θ + sin nθ Sn = sin nθ + sin(n 1)θ + + sin 2θ + sin θ 藉由三角公式 (将 x, y 写成 x = sin x + sin y = sin ( 两式垂直相加 (1 n)θ (1 + n)θ (3 n)θ (1 + n)θ cos + sin cos + 2 2 2 2 (n 3)θ (n + 1)θ (n 1)θ (n + 1)θ cos + sin cos + sin 2 2 2 2 (n + 1)θ (1 n)θ (3 n)θ (n 1)θ = 2 sin cos + cos + + cos 2 2 2 2 θ 两边同时乘 sin 2 , 且再利用一次三角公式得 2Sn = 2 sin θ n+1 n n n n = sin θ sin θ + sin(1 )θ + + sin( 1)θ + sin θ 2 2 2 2 2 2 整理得 (因为 sin(θ) = sin θ) 2Sn sin sin n θ n+1 2 Sn = θ θ sin 2 sin 2

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