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20 0 2年 第7期 数学通报
如何发现开普勒第三定律
李仲来( 北京师范大学数学系 1 85 o 7) 0
文献[ ] 到求解应用题时, 模型形式固1谈 在定的前提下, 所研究问题解的几 种思路和方法, 求若干读 者认为很受启发. 议对[ ]中 讨论一节建1 所提出的, 模型形 式不固定 的前 提下, 样找到在怎较好的模 型作一些介绍. 此, 文从拟合角度研 为本
究一个著名 的应用问题 : 一组观测资料出发 , 从如
何发现开 普勒( pe,5 1—13 )第 三定律. Kelr17 60
1 模型的建立
如果将 ( ) D, 取对 数画 出其 图像 ( )则 图略, 像非常接 近一条直线 . 接下来的问题 是确定( ) 参数c和 b 这只3 的, 需将原始数据( , Y)取 对数, 用数据(n 即1x, ly) 合直线模型( )的 方法求出要确定的参n 拟3 数,和6 c 可用最小 二乘 法确定【 然后变换 ( ) . 2 可得模 型( ) 1. 经计算, 求对数线性回归 模型所
l T = 0 0 0 6 6+1 4l 5n n .0 2 4 .9 9 lD, 9 () 4
() 5
开普 勒三定律第一定律: 星绕太阳运 行的轨 道是椭圆, 行太
阳位于椭 圆的一个焦点上.
由( )可 得幂函数 模型4
:
100 . 0 3D' 99 ·9 4 5
第二定律: 接行星与太 阳的向径, 相等的连在时间内扫 过的面 积相等. 第三定律: 星在其轨道上运行周期的平方行与该 轨道 的半长轴的立 方成正比. 应用微积分的基 本知识证明开 普勒定律在最近出版 的几本教材中已有论述, 文献[ 如2— 3 ]
等.
由于10 0 1 14 9 5 1 5 .0 3 , .9 9 .,
故( ) 近似化为5 可
=
D ～, D .
() 6 () 7
( ) 两端平 方即得 所求开普 勒第三定律6式
=
上面通过画出观测 数据的图像, 想到可能猜是幂函数 模型. 将( )取 对数后再画出其图若D, 像, 图像与一条直线非常接近. 然, 可猜想则当也
以下 从分析观测数据出发, 出经验公式( 找开普勒第三定律 ) .
把地球 作为比较 的标 准, 球与 太阳的距离 地算成一个 单位, 绕太阳公 转一周的时间( 期) 它周是一年. 一其它行 星与太阳的距 离为D, 太阳任绕公转周期是年. 天文观测数据如下L . 其4 j
水星 金星地球火星木星土星
D 0. 7 0. 23 1. 38 7 00 1. 2 5 5. 20 9. 4 5
到其它模 型, 如指 数模 型等 . 某些情 况下, 以在可利用常用 的七 种模 型: 性模 型T : n+ 6 指线D, 数模型 T= a x (D) 幂函数模 型: ep b , , 对数模 型T= n+bn 三种 双曲线模 型:1 ( iD, /n + b , = D/ n +b , = ( D) T ( D) T n+ b / 等, D) D, 将其化为线性模型后 求解, 用变换为: 所指数模型T : a x ( D)取 对数得到l ep b , nT: la+ , Y= IT, n 取n c= la, 为线性模型Y: n 化
c+ b : D
T 0. 4 2
0. 1 1 0 6 5 .o
1 8 .8
1 . 19
2 5 9.
天王 星
D 1 2 9. 8 0 4.
海王星
3 1 0. 15 6

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