非线性耦合微分方程组的精确解析解! 李志斌!) " 姚若侠!) #) !) (华东师范大学计算机科学技术系,上海 #$$$%#) #) (渭南师范学院计算机科学系,渭南 &!'$$$) (#$$! 年'月#$ 日收到; #$$! 年%月#日收到修改稿) 提出了利用耦合的 ()**+,) 方程组的某些特解构造非线性微分方程组精确解析解的一种方法- 应用这种方法研 究了两个耦合的常微分方程组,系统地获得了它们的一些精确解- 给出了非线性浅水波近似方程组和非线性 .*/012)34506728 方程组若干新的孤波解- ! 国家重点基础研究发展规划项目 (批准号: 9! 及上海市自然科学基金 (批准号: =>!'$!#) 资助的课题- " ?6@+)A: A)BCD *E- 5*3F- 52F- *3 关键词:非线性耦合方程组,方程组,符号计算,孤波 7,$##$ ! 引言在非线性物理学的不同分支学科中经常会遇到 含有多个参数的非线性耦合微分方程组- 一个重要 的数学问题是,对于参数的不同取值如何构造这些 方程组的精确解析解- 文献 [!] 提出了一种混合指 数方法, 其基本思想是将非线性方程的解表示为相 应线性方程指数解的无穷级数,通过求解复杂的递 推关系而获得非线性微分方程的闭合形式解- 文献 [#] 提出了一种齐次平衡方法,通过计算非线性方 程的拟解来获得未知函数变换,进而将非线性微分 方程化作齐次超定方程组,求解齐次方程组而得到 原方程的精确解- 这两种方法已广泛地应用到各种 非线性常微分方程、 非线性偏微分方程或方程组的 求解之中 [<—%] - 本文分析耦合的 ()**+,) 方程组,提出构造非线 性微分方程 (组) 闭合形式解的另外一种代数方法- 在这种方法中,非线性微分方程 (组) 的解被表示成 为()**+,) 方程组某些特解的多项式- 用此方法,只 需求解两组超定的非线性代数方程组便可获得非线 性微分方程 (组) 此种形式的精确解- 这些精确解都 有着明确的物理意义- 尽管手工求解超定的非线性 代数方程组并不容易,然而由于计算机代数的发 展,人们可以借助像 G+HA5 或G+,/5@+,)*+ 这样的计 算机代数系统有效地处理复杂而繁琐的代数计算, 从而获得非线性代数方程组的解- 实践证明这种方 法简便实用,同混合指数方法、 齐次平衡方法或其 他方法相比可获得非线性常微分方程 (组) 更多和更 一般的精确解- 考虑耦合的 ()**+,) 方程组 !I J K "!#, #I J " (! K ## ) , (!) 其中 " 为非零常数- 容易核验方程组 (!) 有如下两 组特殊解: ! J L E5*/ ("$) , # J ,+3/ ("$) , (#) ! J L *E*/ ("$) , # J *M,/ ("$) - (<) 这两组解分别满足关系 ## J ! K !# 和## J ! N !# - 对给定的非线性耦合常微分方程组 % ( !, ", ! I , " I , ! O , " O , …)J $, & ( !, ", ! I , " I , ! O , " O , …)J $, (') 尝试寻求如下形式的精确解: " J " ' ( J $ )(!( N " ' ( J ! *(#!(K! , ! J " + ( J $ ,(!( N " + ( J ! -(#!(K! , (P) 其中 为待定的实常数,,# + N -# + #$- 如果方程组 (') 有形如 (P) 式的解,则可通过平衡出 现在方程组 (') 中的线性最高阶导数项和非线性项 来确定参数 ' 和+-一旦 ' 和+求得,将(P) 式代 入方程组 (') ,反复利用 (!) 式,可将方程组 (') 中出 现的!, " 的各阶导数用!, " 的多项式替代; 同时, 利用关系 ## J ! K !# 或## J ! N !# 可以消去 # 的所 第P$ 卷第!! 期#$$! 年!! 月!$$$6<#:$Q#$$!QP$ (!!) Q#$%#6$% 物理学报RSTR UVW.XSR .XYXSR 8MA-P$, YM-!!, YMZ5@C50, #$$! ! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #$$! S/)3-U/[E- .M*- 有高于 ! 次的幂次" 合并同类项后,令!和"! 的各 次幂系数为零, 便得到关于 及(的两 组超定的代数方程组" 在计算机代数系统上设法求 解代数方程组,即可得到非线性耦合微分方程组 (#) 形如 和(&$&', &+(') 的多项式形式的 精确解" 在原始的物理问题中前者往往表示稳定的孤 波解, 而后者表示具有激波结构的发散解" 下面用这种方法研究两个耦合的非线性微分方 程组,并给出具体的应用" , 耦合的一阶微分方程组 考虑含有 - 个自由参数的耦合非线性微分方 程组 ! . / ' ! 0 ) ! " 0 *, " . / + " 0 , " , 0 - !, (-) 其中 . : / 121.,. 为自变量,为 参数" 为求方程组 (-) 形如 (3) 式的解,将! . 与! " 平衡, " . 与" , , ! 平衡,可得 / / !,0 / 4, !, ," 这样 ! / #4 0 #! ! 0 #, !, 0 %! " 0 %, "!, " / &4 0 &! ! 0 '! ", (5) 其中 &! !4 或'! !4" 将(5) 式代入方程组 (-) ,利用 67&&)(7 方程组及 其特殊解 (,) 和(8) 式所满足的不同关系, 容易推导 出两组决定未知常数 #4 , #! , #, , %! , %, , &4 , &! , '! 及(的代数方程组 9 -#! 9 +&! 9 ,,&4 &! / 4, 9 '%! 9 )%! &4 9 )#4 '! / 4, 9 (#! 9 '%, 9 )%, &4 9 )%! &! 9 4, 9 ,(#, 9 )%, &! 9 4, 9 * 9 '#4 9 )#4 &4 9 4, 9 '#, 0 (%! 9 )#, &4 9 )#! &! 0 4, 9 '#! 9 (%, 9 )#! &4 9 )#4 &! 9 4, ,(%, 9 )#, &! 0 4, 9 -%! 9 +'! 9 ,,&4 '! / 4, 9 -%, 9 (&! 9 4, 9 -#4 9 +&4 9 ,&, 4 9 ,', ! / 4, 9 -#, 9 ,&, ! 0 ('! 0 ,', ! / 4 (:) 和9-#! 9 +&! 9 ,,&4 &! / 4, 9 '%! 9 )%! &4 9 )#4 '! / 4, 9 (# 9 ! 9 '%, 9 )%, &4 9 )%! &! 9 4, 9 ,(#, 9 )%, &! 9 4, 9 * 9 '#4 9 )#4 &4 9 4, 9 '#, 9 (%! 9 )#, &4 9 )#! &! 9 4, 9 '#! 9 (%, 9 )#! &4 9 )#4 &! 9 4, 9 ,(%, 9 )#, &! 9 4, 9 -%! 9 +'! 9 ,,&4 '! / 4, 9 -%, 9 (&! 9 4, 9 -#4 9 +&4 9 ,&, 4 9 ,', ! / 4, 9 -#, 9 ,&, ! 9 ('! 9 ,', ! / 4" (;) 利用符号计算系统 <)=>%,直接求解方程组 (:) ,可得 # 组非平凡解,由此得知方程组 (-) 拥有 如下的精确解" 当*/4, ) / ,, 时!/4, " / 9 + ,, ! 0 ()*' + , ( ) [ ] . , (!4) 当4?'?+或+?'?4,且 ( ' 9 +) · (,' 9 +) 2 (,-)时!/+9,' ,- ' (+ 9 ' " ) ()*' ((.) , " / 9 ' , 9 ' (+ 9 ' " ) , ()*' ((.) , (!!) 其中 (, / ' (+ 9 ') " 当'+ ? 4,9 '+ (' 0 +) 2 (,-) 时!/'+ ,- 0 9 " '+ + ,- ()*' ((.) , " / 9 9 " '+ , ()*' ((.) , (!,) 其中 (, / 9 '+ " 当*/4,) / ,',2+ 时!/+(+ 9 ') #,- $%&', ' , ( ) . , " / 9 + ,, ! 0 ()*' ' , ( ) [ ] . " (!8) 容易看出,非耦合解 (!4) 式是耦合解 (!8) 式当 ' / + 时的特殊情形" 求解代数方程组 (;) ,可以得 到与上面 # 组解相伴的发散形式的解,这只需将 (!4) — (!8) 式中的 换作 即可, 但&$&', 系数与 $%&', 的系数相差一个负号" 8 - 4 , !! 期 李志斌等: 非线性耦合微分方程组的精确解析解 作为应用,考虑非线性浅水波近似方程组 [!] $ % !## & ', $" "(!$) # " $ 文献 [%] 利用齐次平衡方法,文献 [*] 利用非线性变 换方法分别获得了方程组 ($)) 当!时的一 组孤波解 ! (#, ")& % % $ # +,-. % % # # % % ( ) [ ] " , $ (#, ")& %% ) /01.% % % # # % % ( ) " , ($2) 其中 % 为任意常数( 事实上,引入行波变换 方程组 ($)) 可化作常微分方程组 (3) ,其中 ( & " %'4 ", ) & " %4 为任意常数( 条件 ) & %(+4* 等价于!& $,故解 ($5) 式表明对任意参数 " ( "!') 方程组 ($)) 拥有孤波解( 特别取"& $,解($5) 式即为 ($2) 式( 不仅如此,由解 ($$) 和($%) 式知, 当! "& " % 时,方程组 ($)) 还有如下两组新的 纽状孤波解: !$ (#, 6 ' 6 "( " # $ " ) +,-.. (# " '") , $$ (#, ")& ' 6 ' 6" # % " " ( " # $ " ) +,-.. (# " '") , ($3) 其中 .% & " )'% ( "# $) 4 " % , "7 " $,' 为任意常数( !% (#, ")& 6 ' 6 " "+,-.. (# " '") , $% (#, ")& '% " ' 6 ' 6 " "+,-.. (# " '") , ($!) 其中 .% & )'% ", "8 ',' 为任意常数( 5 耦合的二阶微分方程组 考虑耦合的非线性微分方程组 # 9 & ( # # ) # $, $ 9 & * $ # + $ % # , # % , ($*) 其中 (, ), *, +, , 为2个自由参数( 方程组 ($*) 出现于 电磁离子声波和地 表混合磁层波等领域,文献 [@] 应用幂级数展开方 法获得了方程组 ($*) 若干形如 /01. A +,-. 和/01.% 的精确解,最近文献 [)] 应用混合指数方法,详细 分析了方程组 ($*) ,较为系统地获得了一批精确 解,其中包含了文献 [@] 的结果( 利用本文的方法 发现文献 [)] 的结果不具有一般性,没有穷尽所有 的可能( 为求方程组 ($*) 形如 (2) 式的解,将(2) 式代入 方程组 ($*) ,平衡# 9 与# $ 的阶数,同时平衡$ 9 与$%和# % 的阶数, 得/&%, 0 & ', $, %( 因此 # 1$ 2 # 1% 2!, # ($ 2 # (% 2!, ($@) 其中 '% !' 或(% !'( 与方程组 (3) 不同,这次我们得到了两个关于 $$ 个未知量 %3 ,'3 ,14 ,(4 (3 & ', $, %,4 & $, %) 及.的超定代数方程组,每个方程组都由 $* 个方程所 组成( 为求解这两个超定的代数方程组,我们或可 应用 B>++C吴消元法或可用 D?EF-0? 基方法( 不过本 文使用一种更为有效的算法,其主要想法是利用这 两个方程组自身的特点,就某个未知量是否为零, 分两种不同情况,然后在每种情况下再考虑一些不 同的子情况,如此等等( 应用这种算法在 G,HI0 上 进行交互式计算,找到了这两个方程组许许多多的 非平凡解( 由此发现了方程组 ($*) 一些新的解和更 一般的解, 不仅如此, 也得到了文献 [@, )] 用其他方 法得到的所有精确解( 所获结果整理如下: 当*7'时#&', $ & " * + $ " 5 % /01.% " " * % ( ) [ ] & ,(%') # & ', $ & " * + $ # 5 % 1/1.% " " * % ( ) [ ] & ,(%$) # & ', $ & " * + [$ # 51/1.% ( " " *&) #51J+. ( " " *&) 1/1. ( " " *&) ] ( (%%) 当*8'时#&', $ & " 5* %+ /01.% "* % ( ) & , (%5) # & ', $ & # 5* %+ 1/1.% "* % ( ) & , (%)) # & ', $ & 5* + [1/1.% ("*&) K 1J+. ("*&) 1/1. ("*&) ] ( (%2) 方程组 ($*) 的非耦合形式解只有以上 3 组,其中(%') , (%$) , (%%) , (%2) 为新解( 耦合解有如下 $* 组( 当*75(,+ & 5) 时#&K%5+, (* " 5() ($%( " * " ) /01. (.&) , $ & " * + # % (* " 5() + /01.% (.&) , +, 7 ', (%3) ) 3 ' % 物理学报2' 卷!!"#$!" (# % $$) (# % &#$ ! ) '(') (%&) , " ! % # ! * # ($$ % #) ! '(')# (%&) (#-) 其中 %# ! ($$ % #) .$/ 当时!!"0$ !" (# % 1$ ! ) (2') (%&) , " ! % #$ ' (2')# (%&) ,(# % 1$) .!" + ,, (#3) ! ! " 0$ !" (1$ % # ! ) '(') (%&) , " ! * #$ ' '(')# (%&) ,(# % 1$) .!" 4 ,, (#5) 其中 %# ! $ / 当#40$或4,, 但$4,,! ! $' 时!!"$(# % $$) ! '" 678) (%&) , " ! % & ' [$ * #%# (2')# (%&) ] , ($,) ! ! " $ (# % $$) ! '" '96) (%&) , " ! % & ' [$ % #%# '(')# (%&) ] , ($&) 其中 %# ! (# % 0$ " &#$# % 1$# * # ! # ) .3/ 当$!#4,, (' % !) " + , 时!!"$''%!!" & % $ # (2')# % ! # # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & % $ # (2')# % ! # # ( ) [ ] & , ($#) ! ! " $ ' ' % ! !" & * $ # '(')# % ! # # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & * $ # '(')# % ! # # ( ) [ ] & / ($$) 当 (' % !) " + , 时!!"$$ #' ' % ! !" (2')# !# # ( ) & , " ! % $$ #' (2')# !# # ( ) & , ($1) ! ! " $$ #' ' % ! !" '(')# !# # ( ) & , " ! * $$ #' '(')# !# # ( ) & / ($:) 当#4,, (' % !) ($ * #) .# 时!!"$$! ! " (2')# % ! # # ( ) & , " ! % $ ' % ! & % $! #' (2')# % ! # # ( ) [ ] & ,($0) ! ! " $$! ! " '(')# % ! # # ( ) & , " ! % $ ' % ! & * $! #' '(')# % ! # # ( ) [ ] & / ($-) 当#+,, (' % !) ($ * #) .# 时!!"$! ! " & % $ # (2')# !# # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & * $! # (' % !) (2')# !# # ( ) [ ] & ,($3) ! ! " $! ! " & * $ # '(')# !# # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & % $! # (' % !) '(')# !# # ( ) [ ] & / ($5) 当 ($! % ') .' 时!!"0$'!%'!" (2') (!$&) 678) (!$&) , " ! % 0 $ ' (2')# (!$&) ,(! % ') " + ,, (1,) ! ! " 0 $ ' ' % ! !" '(') (!$&) '96) (!$&) , " ! * 0 $ ' '(')# (!$&) ,(! % ') " + ,/(1&) 当(! % ') ( ' % $!) .' 时!!"0%# ' ! % ' !" (2') (%&) 678) (%&) , " ! % 0%# ' [& % (2')# (%&) ] , (1#) ! ! " 0 %# ' ! % ' !" '(') (%&) '96) (%&) , " ! % $ ' * %# ' [& * 0'(')# (%&) ] , (1$) 其中 %# ! $!. / 解($,) , ($&) , (1#) 和(1$) 式是本文首次发现 的,文献 [1] 只得到了 # ! $ 4 , 特殊情形下的 ($,) 和($&) 式/ 相比之下, 本文的解 ($,) 和($&) 式要一 般得多,至于解 (1#) 和(1$) 式则是全新的/ 另外文 献[1] 对一些解的系数表示得不很规范,对此本文 做了更正/ 作为应用,考虑非线性 ;')<=>?8@2C 耦合方 : 0 , # && 期 李志斌等: 非线性耦合微分方程组的精确解析解 程组 [!"] ' # , ((() 其中 $ 为非线性色散介质中的实长波振幅,! 为复 短波振幅, !, "为参数) 在变换 ! % # (# * %") +,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % $ 下,方程组 ((() 可化为单变元 的实函数$ 和# 的常微分方程组 (!/) ,其中 ( % * %&0',) % !, * % %0 ",+ % *!0 (' ") , , % !0 ",%,& 为待定常数) 文献 [!!] 利用 1#2345 方法获得了方程组 ((() 的.组孤波解,这些解均已涵盖在本文的结果之中) 作为新解,解(6") 式表明对! $ 7 "% ", 方程组 ((() 还拥有如下孤波解: ! % 8 % ' & (' $ 6 "& ! ) 459: [- (# * %") ] ·+,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % %& ' * '-' ;+<:' [- (# * %") ] , ((7) 其中当"= " 时,选择 0 (6 ") 或%=", & = * !0 (6 ") ;而当" > " 时,选择 0 (6 ") 或0(6 ") ,- 满足 -' % 6 / &% $ % / " (! 8 ! $ ' " & $ 6 " ' & ! ' ) ) 解((') 式表明在参数区域"> *!0', ! > " 和"> * . !0(, != " 以及 * . !0( >"> *!0', != " 中 分别选取 和%=",则耦合的孤波 ! % 8 6-' * ' ( ! $ ' " ! ) ;+<: [- (# * %") ] ·45:9 [- (# * %") ] +,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % * 7-' 459:' [- (# * %") ] , ((?) 满足方程组 ((() ,其中 & % ' (. !$ ( ") 0 (6 !$ ' ") ,- % !%0 (. !$ ( " ! ) ) 本文获得的方程组 (7) 和(!/) 的所有解均已利 用符号计算系统 @5-A+ 得以验证) [!] B) 1+2+C59,D) E59+2F++,G) H32-+A,. ) /)01 ),!"# (!I/7) , !I) ['] @)J) B59K,L) E) M:3N,M) E) J#,/)01 ) $2"" ),!$% (!II7) , 7"'?) [6] B)1+2+C59,@)O5P53P5,. ) /)01 ),!$& (!II") ,(/".) [(] @)D59#K25:#,D) Q) R5;:,/)01 ) $2" (!III) ,'/() [.] S) T)U59,1) V) M:59K,3%"4 /)01 ) !56 ),'( (!II/) ,6.6 (#9 Q:#9+;+) [范恩贵、 张鸿庆,物理学报,'( (!II/) , 6.6] ) [7] M) E)J# 2" 47 ),3%"4 /)01 ) !56 ), )* ('""!) , ("' (#9 Q:#9+;+) [李 志斌等,物理学报,)* ('""!) , ("'] ) [?] T) E)B:#4:5C,/,8% ) 980 ) !8% ),!$## (!I7?) ,7) [/] M)L) L59,1) V) M:59K,3%"4 /)01 ) !56 ),'+ (!III) ,!I7'(#9 Q:#9+;+) [阎振亚、 张鸿庆,物理学报,'+ (!III) , !I7'] ) [I] W) W) X53,. ) /)01 ),!$$ (!I/I) ,(/!6) [!"] O) L3;:#95K5,@) B5P5C#Y5,O) H5PN459#, /)01 ) :7;5(1,!& (!II!) ,/6) [!!] O) L3;:#95K5,O) H5PN459#,. ) /)01 ) !8% ) .4* ),%' (!II() , ((.) 7 7 " ' 物理学报." 卷 0+('%*,)! ) 0) () 0$1& +2/($ 3)%'$4 5(/6"%1/&7, -2$(82$/ 011120, +2/($) 0) 9"2"%1 +)44"8", 9"/($( 3(4111, +2/($) (-5657859 01 +:;7< 011(;;587=59 >?@A=6;7:B ;5657859 0 CA@5 011() +&DE-+FE + >5BGH9 IH; 6H@=B;A6B7@J 5K:<767B 5K?6B =H5BGH9, ?@9 =585;?< @5P =H5B;76?<)?;5 5K:<767B
NH<76 6H>:AB?B7H@,=H<7B?;L P?85 #(&&:1R41S,1001 ! T;HU56B =A::H;B59 NL BG5 DB?B5 S5L V5855@B T;HJ;?> IH; &?=76 -5=5?;6G HI FG7@? (W;?@B 'HO W(XXY1R1211) ,?@9 BG5 '?BA;?< D675@65 ZHA@9?B7H@ HI DG?@JG?7,FG7@?(W;?@B 'HO#V(41(0) O 3 2 1 0 (( 期 李志斌等: 非线性耦合微分方程组的精确解析解
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非线性耦合微分方程组的精确解析解! 李志斌!) " 姚若侠!) #) !) (华东师范大学计算机科学技术系,上海 #$$$%#) #) (渭南师范学院计算机科学系,渭南 &!'$$$) (#$$! 年'月#$ 日收到; #$$! 年%月#日收到修改稿) 提出了利用耦合的 ()**+,) 方程组的某些特解构造非线性微分方程组精确解析解的一种方法- 应用这种方法研 究了两个耦合的常微分方程组,系统地获得了它们的一些精确解- 给出了非线性浅水波近似方程组和非线性 .*/012)34506728 方程组若干新的孤波解- ! 国家重点基础研究发展规划项目 (批准号: 9! 及上海市自然科学基金 (批准号: =>!'$!#) 资助的课题- " ?6@+)A: A)BCD *E- 5*3F- 52F- *3 关键词:非线性耦合方程组,方程组,符号计算,孤波 7,$##$ ! 引言在非线性物理学的不同分支学科中经常会遇到 含有多个参数的非线性耦合微分方程组- 一个重要 的数学问题是,对于参数的不同取值如何构造这些 方程组的精确解析解- 文献 [!] 提出了一种混合指 数方法, 其基本思想是将非线性方程的解表示为相 应线性方程指数解的无穷级数,通过求解复杂的递 推关系而获得非线性微分方程的闭合形式解- 文献 [#] 提出了一种齐次平衡方法,通过计算非线性方 程的拟解来获得未知函数变换,进而将非线性微分 方程化作齐次超定方程组,求解齐次方程组而得到 原方程的精确解- 这两种方法已广泛地应用到各种 非线性常微分方程、 非线性偏微分方程或方程组的 求解之中 [<—%] - 本文分析耦合的 ()**+,) 方程组,提出构造非线 性微分方程 (组) 闭合形式解的另外一种代数方法- 在这种方法中,非线性微分方程 (组) 的解被表示成 为()**+,) 方程组某些特解的多项式- 用此方法,只 需求解两组超定的非线性代数方程组便可获得非线 性微分方程 (组) 此种形式的精确解- 这些精确解都 有着明确的物理意义- 尽管手工求解超定的非线性 代数方程组并不容易,然而由于计算机代数的发 展,人们可以借助像 G+HA5 或G+,/5@+,)*+ 这样的计 算机代数系统有效地处理复杂而繁琐的代数计算, 从而获得非线性代数方程组的解- 实践证明这种方 法简便实用,同混合指数方法、 齐次平衡方法或其 他方法相比可获得非线性常微分方程 (组) 更多和更 一般的精确解- 考虑耦合的 ()**+,) 方程组 !I J K "!#, #I J " (! K ## ) , (!) 其中 " 为非零常数- 容易核验方程组 (!) 有如下两 组特殊解: ! J L E5*/ ("$) , # J ,+3/ ("$) , (#) ! J L *E*/ ("$) , # J *M,/ ("$) - (<) 这两组解分别满足关系 ## J ! K !# 和## J ! N !# - 对给定的非线性耦合常微分方程组 % ( !, ", ! I , " I , ! O , " O , …)J $, & ( !, ", ! I , " I , ! O , " O , …)J $, (') 尝试寻求如下形式的精确解: " J " ' ( J $ )(!( N " ' ( J ! *(#!(K! , ! J " + ( J $ ,(!( N " + ( J ! -(#!(K! , (P) 其中 为待定的实常数,,# + N -# + #$- 如果方程组 (') 有形如 (P) 式的解,则可通过平衡出 现在方程组 (') 中的线性最高阶导数项和非线性项 来确定参数 ' 和+-一旦 ' 和+求得,将(P) 式代 入方程组 (') ,反复利用 (!) 式,可将方程组 (') 中出 现的!, " 的各阶导数用!, " 的多项式替代; 同时, 利用关系 ## J ! K !# 或## J ! N !# 可以消去 # 的所 第P$ 卷第!! 期#$$! 年!! 月!$$$6<#:$Q#$$!QP$ (!!) Q#$%#6$% 物理学报RSTR UVW.XSR .XYXSR 8MA-P$, YM-!!, YMZ5@C50, #$$! ! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #$$! S/)3-U/[E- .M*- 有高于 ! 次的幂次" 合并同类项后,令!和"! 的各 次幂系数为零, 便得到关于 及(的两 组超定的代数方程组" 在计算机代数系统上设法求 解代数方程组,即可得到非线性耦合微分方程组 (#) 形如 和(&$&', &+(') 的多项式形式的 精确解" 在原始的物理问题中前者往往表示稳定的孤 波解, 而后者表示具有激波结构的发散解" 下面用这种方法研究两个耦合的非线性微分方 程组,并给出具体的应用" , 耦合的一阶微分方程组 考虑含有 - 个自由参数的耦合非线性微分方 程组 ! . / ' ! 0 ) ! " 0 *, " . / + " 0 , " , 0 - !, (-) 其中 . : / 121.,. 为自变量,为 参数" 为求方程组 (-) 形如 (3) 式的解,将! . 与! " 平衡, " . 与" , , ! 平衡,可得 / / !,0 / 4, !, ," 这样 ! / #4 0 #! ! 0 #, !, 0 %! " 0 %, "!, " / &4 0 &! ! 0 '! ", (5) 其中 &! !4 或'! !4" 将(5) 式代入方程组 (-) ,利用 67&&)(7 方程组及 其特殊解 (,) 和(8) 式所满足的不同关系, 容易推导 出两组决定未知常数 #4 , #! , #, , %! , %, , &4 , &! , '! 及(的代数方程组 9 -#! 9 +&! 9 ,,&4 &! / 4, 9 '%! 9 )%! &4 9 )#4 '! / 4, 9 (#! 9 '%, 9 )%, &4 9 )%! &! 9 4, 9 ,(#, 9 )%, &! 9 4, 9 * 9 '#4 9 )#4 &4 9 4, 9 '#, 0 (%! 9 )#, &4 9 )#! &! 0 4, 9 '#! 9 (%, 9 )#! &4 9 )#4 &! 9 4, ,(%, 9 )#, &! 0 4, 9 -%! 9 +'! 9 ,,&4 '! / 4, 9 -%, 9 (&! 9 4, 9 -#4 9 +&4 9 ,&, 4 9 ,', ! / 4, 9 -#, 9 ,&, ! 0 ('! 0 ,', ! / 4 (:) 和9-#! 9 +&! 9 ,,&4 &! / 4, 9 '%! 9 )%! &4 9 )#4 '! / 4, 9 (# 9 ! 9 '%, 9 )%, &4 9 )%! &! 9 4, 9 ,(#, 9 )%, &! 9 4, 9 * 9 '#4 9 )#4 &4 9 4, 9 '#, 9 (%! 9 )#, &4 9 )#! &! 9 4, 9 '#! 9 (%, 9 )#! &4 9 )#4 &! 9 4, 9 ,(%, 9 )#, &! 9 4, 9 -%! 9 +'! 9 ,,&4 '! / 4, 9 -%, 9 (&! 9 4, 9 -#4 9 +&4 9 ,&, 4 9 ,', ! / 4, 9 -#, 9 ,&, ! 9 ('! 9 ,', ! / 4" (;) 利用符号计算系统 <)=>%,直接求解方程组 (:) ,可得 # 组非平凡解,由此得知方程组 (-) 拥有 如下的精确解" 当*/4, ) / ,, 时!/4, " / 9 + ,, ! 0 ()*' + , ( ) [ ] . , (!4) 当4?'?+或+?'?4,且 ( ' 9 +) · (,' 9 +) 2 (,-)时!/+9,' ,- ' (+ 9 ' " ) ()*' ((.) , " / 9 ' , 9 ' (+ 9 ' " ) , ()*' ((.) , (!!) 其中 (, / ' (+ 9 ') " 当'+ ? 4,9 '+ (' 0 +) 2 (,-) 时!/'+ ,- 0 9 " '+ + ,- ()*' ((.) , " / 9 9 " '+ , ()*' ((.) , (!,) 其中 (, / 9 '+ " 当*/4,) / ,',2+ 时!/+(+ 9 ') #,- $%&', ' , ( ) . , " / 9 + ,, ! 0 ()*' ' , ( ) [ ] . " (!8) 容易看出,非耦合解 (!4) 式是耦合解 (!8) 式当 ' / + 时的特殊情形" 求解代数方程组 (;) ,可以得 到与上面 # 组解相伴的发散形式的解,这只需将 (!4) — (!8) 式中的 换作 即可, 但&$&', 系数与 $%&', 的系数相差一个负号" 8 - 4 , !! 期 李志斌等: 非线性耦合微分方程组的精确解析解 作为应用,考虑非线性浅水波近似方程组 [!] $ % !## & ', $" "(!$) # " $ 文献 [%] 利用齐次平衡方法,文献 [*] 利用非线性变 换方法分别获得了方程组 ($)) 当!时的一 组孤波解 ! (#, ")& % % $ # +,-. % % # # % % ( ) [ ] " , $ (#, ")& %% ) /01.% % % # # % % ( ) " , ($2) 其中 % 为任意常数( 事实上,引入行波变换 方程组 ($)) 可化作常微分方程组 (3) ,其中 ( & " %'4 ", ) & " %4 为任意常数( 条件 ) & %(+4* 等价于!& $,故解 ($5) 式表明对任意参数 " ( "!') 方程组 ($)) 拥有孤波解( 特别取"& $,解($5) 式即为 ($2) 式( 不仅如此,由解 ($$) 和($%) 式知, 当! "& " % 时,方程组 ($)) 还有如下两组新的 纽状孤波解: !$ (#, 6 ' 6 "( " # $ " ) +,-.. (# " '") , $$ (#, ")& ' 6 ' 6" # % " " ( " # $ " ) +,-.. (# " '") , ($3) 其中 .% & " )'% ( "# $) 4 " % , "7 " $,' 为任意常数( !% (#, ")& 6 ' 6 " "+,-.. (# " '") , $% (#, ")& '% " ' 6 ' 6 " "+,-.. (# " '") , ($!) 其中 .% & )'% ", "8 ',' 为任意常数( 5 耦合的二阶微分方程组 考虑耦合的非线性微分方程组 # 9 & ( # # ) # $, $ 9 & * $ # + $ % # , # % , ($*) 其中 (, ), *, +, , 为2个自由参数( 方程组 ($*) 出现于 电磁离子声波和地 表混合磁层波等领域,文献 [@] 应用幂级数展开方 法获得了方程组 ($*) 若干形如 /01. A +,-. 和/01.% 的精确解,最近文献 [)] 应用混合指数方法,详细 分析了方程组 ($*) ,较为系统地获得了一批精确 解,其中包含了文献 [@] 的结果( 利用本文的方法 发现文献 [)] 的结果不具有一般性,没有穷尽所有 的可能( 为求方程组 ($*) 形如 (2) 式的解,将(2) 式代入 方程组 ($*) ,平衡# 9 与# $ 的阶数,同时平衡$ 9 与$%和# % 的阶数, 得/&%, 0 & ', $, %( 因此 # 1$ 2 # 1% 2!, # ($ 2 # (% 2!, ($@) 其中 '% !' 或(% !'( 与方程组 (3) 不同,这次我们得到了两个关于 $$ 个未知量 %3 ,'3 ,14 ,(4 (3 & ', $, %,4 & $, %) 及.的超定代数方程组,每个方程组都由 $* 个方程所 组成( 为求解这两个超定的代数方程组,我们或可 应用 B>++C吴消元法或可用 D?EF-0? 基方法( 不过本 文使用一种更为有效的算法,其主要想法是利用这 两个方程组自身的特点,就某个未知量是否为零, 分两种不同情况,然后在每种情况下再考虑一些不 同的子情况,如此等等( 应用这种算法在 G,HI0 上 进行交互式计算,找到了这两个方程组许许多多的 非平凡解( 由此发现了方程组 ($*) 一些新的解和更 一般的解, 不仅如此, 也得到了文献 [@, )] 用其他方 法得到的所有精确解( 所获结果整理如下: 当*7'时#&', $ & " * + $ " 5 % /01.% " " * % ( ) [ ] & ,(%') # & ', $ & " * + $ # 5 % 1/1.% " " * % ( ) [ ] & ,(%$) # & ', $ & " * + [$ # 51/1.% ( " " *&) #51J+. ( " " *&) 1/1. ( " " *&) ] ( (%%) 当*8'时#&', $ & " 5* %+ /01.% "* % ( ) & , (%5) # & ', $ & # 5* %+ 1/1.% "* % ( ) & , (%)) # & ', $ & 5* + [1/1.% ("*&) K 1J+. ("*&) 1/1. ("*&) ] ( (%2) 方程组 ($*) 的非耦合形式解只有以上 3 组,其中(%') , (%$) , (%%) , (%2) 为新解( 耦合解有如下 $* 组( 当*75(,+ & 5) 时#&K%5+, (* " 5() ($%( " * " ) /01. (.&) , $ & " * + # % (* " 5() + /01.% (.&) , +, 7 ', (%3) ) 3 ' % 物理学报2' 卷!!"#$!" (# % $$) (# % &#$ ! ) '(') (%&) , " ! % # ! * # ($$ % #) ! '(')# (%&) (#-) 其中 %# ! ($$ % #) .$/ 当时!!"0$ !" (# % 1$ ! ) (2') (%&) , " ! % #$ ' (2')# (%&) ,(# % 1$) .!" + ,, (#3) ! ! " 0$ !" (1$ % # ! ) '(') (%&) , " ! * #$ ' '(')# (%&) ,(# % 1$) .!" 4 ,, (#5) 其中 %# ! $ / 当#40$或4,, 但$4,,! ! $' 时!!"$(# % $$) ! '" 678) (%&) , " ! % & ' [$ * #%# (2')# (%&) ] , ($,) ! ! " $ (# % $$) ! '" '96) (%&) , " ! % & ' [$ % #%# '(')# (%&) ] , ($&) 其中 %# ! (# % 0$ " &#$# % 1$# * # ! # ) .3/ 当$!#4,, (' % !) " + , 时!!"$''%!!" & % $ # (2')# % ! # # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & % $ # (2')# % ! # # ( ) [ ] & , ($#) ! ! " $ ' ' % ! !" & * $ # '(')# % ! # # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & * $ # '(')# % ! # # ( ) [ ] & / ($$) 当 (' % !) " + , 时!!"$$ #' ' % ! !" (2')# !# # ( ) & , " ! % $$ #' (2')# !# # ( ) & , ($1) ! ! " $$ #' ' % ! !" '(')# !# # ( ) & , " ! * $$ #' '(')# !# # ( ) & / ($:) 当#4,, (' % !) ($ * #) .# 时!!"$$! ! " (2')# % ! # # ( ) & , " ! % $ ' % ! & % $! #' (2')# % ! # # ( ) [ ] & ,($0) ! ! " $$! ! " '(')# % ! # # ( ) & , " ! % $ ' % ! & * $! #' '(')# % ! # # ( ) [ ] & / ($-) 当#+,, (' % !) ($ * #) .# 时!!"$! ! " & % $ # (2')# !# # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & * $! # (' % !) (2')# !# # ( ) [ ] & ,($3) ! ! " $! ! " & * $ # '(')# !# # ( ) [ ] & , " ! % $ ' & % $! # (' % !) '(')# !# # ( ) [ ] & / ($5) 当 ($! % ') .' 时!!"0$'!%'!" (2') (!$&) 678) (!$&) , " ! % 0 $ ' (2')# (!$&) ,(! % ') " + ,, (1,) ! ! " 0 $ ' ' % ! !" '(') (!$&) '96) (!$&) , " ! * 0 $ ' '(')# (!$&) ,(! % ') " + ,/(1&) 当(! % ') ( ' % $!) .' 时!!"0%# ' ! % ' !" (2') (%&) 678) (%&) , " ! % 0%# ' [& % (2')# (%&) ] , (1#) ! ! " 0 %# ' ! % ' !" '(') (%&) '96) (%&) , " ! % $ ' * %# ' [& * 0'(')# (%&) ] , (1$) 其中 %# ! $!. / 解($,) , ($&) , (1#) 和(1$) 式是本文首次发现 的,文献 [1] 只得到了 # ! $ 4 , 特殊情形下的 ($,) 和($&) 式/ 相比之下, 本文的解 ($,) 和($&) 式要一 般得多,至于解 (1#) 和(1$) 式则是全新的/ 另外文 献[1] 对一些解的系数表示得不很规范,对此本文 做了更正/ 作为应用,考虑非线性 ;')<=>?8@2C 耦合方 : 0 , # && 期 李志斌等: 非线性耦合微分方程组的精确解析解 程组 [!"] ' # , ((() 其中 $ 为非线性色散介质中的实长波振幅,! 为复 短波振幅, !, "为参数) 在变换 ! % # (# * %") +,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % $ 下,方程组 ((() 可化为单变元 的实函数$ 和# 的常微分方程组 (!/) ,其中 ( % * %&0',) % !, * % %0 ",+ % *!0 (' ") , , % !0 ",%,& 为待定常数) 文献 [!!] 利用 1#2345 方法获得了方程组 ((() 的.组孤波解,这些解均已涵盖在本文的结果之中) 作为新解,解(6") 式表明对! $ 7 "% ", 方程组 ((() 还拥有如下孤波解: ! % 8 % ' & (' $ 6 "& ! ) 459: [- (# * %") ] ·+,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % %& ' * '-' ;+<:' [- (# * %") ] , ((7) 其中当"= " 时,选择 0 (6 ") 或%=", & = * !0 (6 ") ;而当" > " 时,选择 0 (6 ") 或0(6 ") ,- 满足 -' % 6 / &% $ % / " (! 8 ! $ ' " & $ 6 " ' & ! ' ) ) 解((') 式表明在参数区域"> *!0', ! > " 和"> * . !0(, != " 以及 * . !0( >"> *!0', != " 中 分别选取 和%=",则耦合的孤波 ! % 8 6-' * ' ( ! $ ' " ! ) ;+<: [- (# * %") ] ·45:9 [- (# * %") ] +,- # % ' # * % ' " * ( ) [ ] &" , $ % * 7-' 459:' [- (# * %") ] , ((?) 满足方程组 ((() ,其中 & % ' (. !$ ( ") 0 (6 !$ ' ") ,- % !%0 (. !$ ( " ! ) ) 本文获得的方程组 (7) 和(!/) 的所有解均已利 用符号计算系统 @5-A+ 得以验证) [!] B) 1+2+C59,D) E59+2F++,G) H32-+A,. ) /)01 ),!"# (!I/7) , !I) ['] @)J) B59K,L) E) M:3N,M) E) J#,/)01 ) $2"" ),!$% (!II7) , 7"'?) [6] B)1+2+C59,@)O5P53P5,. ) /)01 ),!$& (!II") ,(/".) [(] @)D59#K25:#,D) Q) R5;:,/)01 ) $2" (!III) ,'/() [.] S) T)U59,1) V) M:59K,3%"4 /)01 ) !56 ),'( (!II/) ,6.6 (#9 Q:#9+;+) [范恩贵、 张鸿庆,物理学报,'( (!II/) , 6.6] ) [7] M) E)J# 2" 47 ),3%"4 /)01 ) !56 ), )* ('""!) , ("' (#9 Q:#9+;+) [李 志斌等,物理学报,)* ('""!) , ("'] ) [?] T) E)B:#4:5C,/,8% ) 980 ) !8% ),!$## (!I7?) ,7) [/] M)L) L59,1) V) M:59K,3%"4 /)01 ) !56 ),'+ (!III) ,!I7'(#9 Q:#9+;+) [阎振亚、 张鸿庆,物理学报,'+ (!III) , !I7'] ) [I] W) W) X53,. ) /)01 ),!$$ (!I/I) ,(/!6) [!"] O) L3;:#95K5,@) B5P5C#Y5,O) H5PN459#, /)01 ) :7;5(1,!& (!II!) ,/6) [!!] O) L3;:#95K5,O) H5PN459#,. ) /)01 ) !8% ) .4* ),%' (!II() , ((.) 7 7 " ' 物理学报." 卷 0+('%*,)! ) 0) () 0$1& +2/($ 3)%'$4 5(/6"%1/&7, -2$(82$/ 011120, +2/($) 0) 9"2"%1 +)44"8", 9"/($( 3(4111, +2/($) (-5657859 01 +:;7< 011(;;587=59 >?@A=6;7:B ;5657859 0 CA@5 011() +&DE-+FE + >5BGH9 IH; 6H@=B;A6B7@J 5K:<767B 5K?6B =H5BGH9, ?@9 =585;?< @5P =H5B;76?<)?;5 5K:<767B