CRC 算法原理及 C 语言实现 摘要本文从理论上推导出 CRC 算法实现原理,给出三种分别适应不同计算机或微控 制器硬件环境的 C 语言程序. 读者更能根据本算法原理,用不同的语言编写出独特风格 更加实用的 CRC 计算程序. 关键词 CRC 算法 C 语言 1 引言 循环冗余码 CRC 检验技术广泛应用于测控及通信领域.CRC 计算可以靠专用的硬件来实现, 但是对于低成本的微控制器系统, 在没有硬件支持下实现 CRC 检验, 关键的问题就是如何通过软件 来完成 CRC 计算,也就是 CRC 算法的问题. 这里将提供三种算法,它们稍有不同,一种适用于程序空间十分苛刻但 CRC 计算速度要求不高 的微控制器系统,另一种适用于程序空间较大且 CRC 计算速度要求较高的计算机或微控制器系统, 最后一种是适用于程序空间不太大,且CRC 计算速度又不可以太慢的微控制器系统. 2 CRC 简介 CRC 校验的基本思想是利用线性编码理论,在发送端根据要传送的 k 位二进制码序 列,以一定的规则产生一个校验用的监督码(既CRC 码)r 位,并附在信息后边,构成 一个新的二进制码序列数共(k+r)位,最后发送出去.在接收端,则根据信息码和 CRC 码之间所遵循的规则进行检验,以确定传送中是否出错. 16 位的 CRC 码产生的规则是先将要发送的二进制序列数左移 16 位 (既乘以 16 2 ) 后, 再除以一个多项式,最后所得到的余数既是 CRC 码,如式(2-1)式所示,其中 B(X)表示n位的二进制序列数,G(X)为多项式,Q(X)为整数,R(X)是余数(既CRC 码). ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B + = ? (2-1) 求CRC码所采用模 2 加减运算法则,既是不带进位和借位的按位加减,这种加减运 算实际上就是逻辑上的异或运算, 加法和减法等价,乘法和除法运算与普通代数式的乘 除法运算是一样, 符合同样的规律. 生成CRC码的多项式如下, 其中CRC-16 和CRC-CCITT 产生 16 位的CRC码,而CRC-32 则产生的是 32 位的CRC码.本文不讨论 32 位的CRC算法, 有兴趣的朋友可以根据本文的思路自己去推导计算方法. CRC-16:(美国二进制同步系统中采用) 1 ) ( 2 15 16 + + + = X X X X G CRC-CCITT:(由欧洲 CCITT 推荐)1 ) ( 5 12 16 + + + = X X X X G CRC-32: 8 10 11 12 16 22 23 26 32 ) ( X X X X X X X X X X G + + + + + + + + = 1 1 2 4 5 7 + + + + + + X X X X X 接收方将接收到的二进制序列数(包括信息码和 CRC 码)除以多项式,如果余数为 0,则说明传输中无错误发生,否则说明传输有误,关于其原理这里不再多述.用软件 计算 CRC 码时, 接收方可以将接收到的信息码求 CRC 码,比较结果和接收到的 CRC 码是 否相同. 3 按位计算 CRC 对于一个二进制序列数可以表示为式(3-1): 0 1 1 1 2 2 2 ) ( B B B B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 3-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(3-2)所示: ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 16 16 X G B X G B X G B X G B X G X B n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (3-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 216 X G X R X Q X G B n n n + = ? (3-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(3-3)代入式(3-2)得: ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 } ) ( ) ( ) ( { ) ( 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 16 X G B X G B X G B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 X G B X G B X G B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (3-4) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 X G X R X Q X G B X G X R n n n n ? ? ? + = ? + ? (3-5) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数 ,将式(3-5)代入式(3-4),如上类推,最后得 到: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 2 2 1 1 16 X G X R X Q X Q X Q X Q X G X B n n n n n n + + ? ? ? + ? + ? + ? = ? ? ? ? ? (3-6) 根据 CRC 的定义,很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(3-5)是编程计算 CRC 的关键,它说明计算本位后的 CRC 码等于上一位 CRC 码乘以 2 后除 以多项式,所得的余数再加上本位值除以多项式所得的余数.由此不难理解下面求 CRC 码的 C 语 言程序.*ptr 指向发送缓冲区的首字节,len 是要发送的总字节数,0x1021 与多项式有关. unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned char i; unsigned int crc=0; while(len--!=0) { for(i=0x80; i!=0; i/=2) { if((crc&0x8000)!=0) {crc*=2; crc^=0x1021;} /* 余式 CRC 乘以 2 再求 CRC */ else crc*=2; if((*ptr&i)!=0) crc^=0x1021; /* 再加上本位的 CRC */ } ptr++; } return(crc); } 按位计算 CRC 虽然代码简单,所占用的内存比较少,但其最大的缺点就是一位一位地计算会 占用很多的处理器处理时间,尤其在高速通讯的场合,这个缺点更是不可容忍.因此下面再介绍一 种按字节查表快速计算 CRC 的方法. 4 按字节计算 CRC 不难理解,对于一个二进制序列数可以按字节表示为式(4-1),其中 ) (X Bn 为一个 字节(共8位). ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 8 1 ) 1 ( 8 1 8 X B X B X B X B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 4-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(4-2)所示: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 16 16 X G X B X G X B X G X B X G X B n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (4-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B n n n + = ? (4-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(4-3)代入式(4-2)得: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ] ) ( ) ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 16 X G X B X G X B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 8 X G B X G X B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (4-4) 因为: 8 8 8 8 8 2 )] ( 2 ) ( [ 2 ) ( ? + ? = ? X R X R X R nL nH n 8 8 16 8 2 ) ( 2 ) ( ? + ? = X R X R nL nH (4-5) 其中 ) ( 8 X RnH 是)(X Rn 的高八位, ) ( 8 X RnL 是)(X Rn 的低八位.将式(4-5)代入式(4-4) ,经 整理后得: ) ( 2 2 } ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( { 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 8 8 8 16 X G B X G X B X R X G X R X Q X G X B n n nH nL n n ? + ? ? ? + ? ? + + ? + ? = ? ? ? (4-6) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 8 8 8 X G X R X Q X G X B X B X G X R n n n nH nL ? ? ? + = ? + + ? (4-7) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数.将式(4-7)代入式(4-6),如上类推,最后得: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 ) 1 ( 8 1 8 16 X G X R X Q X Q X Q X G X B n n n n + + ? ? ? + ? + ? = ? ? 4-8) 很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(4-7)是编写按字节计算 CRC 程序的关键, 它说明计算本字节后的 CRC 码等于上一字节余式 CRC 码的低 8 位左移 8 位后,再加上上一字节 CRC 右移 8 位(也既取高 8 位)和本字节之和后所 求得的 CRC 码, 如果我们把 8 位二进制序列数的 CRC 全部计算出来, 放如一个表里, 采用查表法, 可以大大提高计算速度.由此不难理解下面按字节求 CRC 码的 C 语言程序.*ptr 指向发送缓冲区 的首字节,len 是要发送的总字节数,CRC 余式表是按 0x11021 多项式求出的. unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned int crc; unsigned char da; unsigned int crc_ta[256]={ /* CRC 余式表 */ 0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50a5, 0x60c6, 0x70e7, 0x8108, 0x9129, 0xa14a, 0xb16b, 0xc18c, 0xd1ad, 0xe1ce, 0xf1ef, 0x 1231, 0x0210, 0x3273, 0x2252, 0x52b5, 0x4294, 0x72f7, 0x62d6, 0x9339, 0x8318, 0xb37b, 0xa35a, 0xd3bd, 0xc39c, 0xf3ff, 0xe3de, 0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401, 0x64e6, 0x74c7, 0x44a4, 0x5485, 0xa56a, 0xb54b, 0x8528, 0x9509, 0xe5ee, 0xf5cf, 0xc5ac, 0xd58d, 0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76d7, 0x66f6, 0x5695, 0x46b4, 0xb75b, 0xa77a, 0x9719, 0x8738, 0xf7df, 0xe7fe, 0xd79d, 0xc7bc, 0x48c4, 0x58e5, 0x6886, 0x78a7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823, 0xc9cc, 0xd9ed, 0xe98e, 0xf9af, 0x8948, 0x9969, 0xa90a, 0xb92b, 0x5af5, 0x4ad4, 0x7ab7, 0x6a96, 0x1a71, 0x0a50, 0x3a33, 0x2a12, 0xdbfd, 0xcbdc, 0xfbbf, 0xeb9e, 0x9b79, 0x8b58, 0xbb3b, 0xab1a, 0x6ca6, 0x7c87, 0x4ce4, 0x5cc5, 0x2c22, 0x3c03, 0x0c60, 0x1c41, 0xedae, 0xfd8f, 0xcdec, 0xddcd, 0xad2a, 0xbd0b, 0x8d68, 0x9d49, 0x7e97, 0x6eb6, 0x5ed5, 0x4ef4, 0x3e13, 0x2e32, 0x1e51, 0x0e70, 0xff9f, 0xefbe, 0xdfdd, 0xcffc, 0xbf1b, 0xaf3a, 0x9f59, 0x8f78, 0x9188, 0x81a9, 0xb1ca, 0xa1eb, 0xd10c, 0xc12d, 0xf14e, 0xe16f, 0x1080, 0x00a1, 0x30c2, 0x20e3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067, 0x83b9, 0x9398, 0xa3fb, 0xb3da, 0xc33d, 0xd31c, 0xe37f, 0xf35e, 0x02b1, 0x1290, 0x22f3, 0x32d2, 0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256, 0xb5ea, 0xa5cb, 0x95a8, 0x8589, 0xf56e, 0xe54f, 0xd52c, 0xc50d, 0x34e2, 0x24c3, 0x14a0, 0x0481, 0x7466, 0x6447, 0x5424, 0x4405, 0xa7db, 0xb7fa, 0x8799, 0x97b8, 0xe75f, 0xf77e, 0xc71d, 0xd73c, 0x26d3, 0x36f2, 0x0691, 0x16b0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634, 0xd94c, 0xc96d, 0xf90e, 0xe92f, 0x99c8, 0x89e9, 0xb98a, 0xa9ab, 0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827, 0x18c0, 0x08e1, 0x3882, 0x28a3, 0xcb7d, 0xdb5c, 0xeb3f, 0xfb1e, 0x8bf9, 0x9bd8, 0xabbb, 0xbb9a, 0x4a75, 0x5a54, 0x6a37, 0x7a16, 0x0af1, 0x1ad0, 0x2ab3, 0x3a92, 0xfd2e, 0xed0f, 0xdd6c, 0xcd4d, 0xbdaa, 0xad8b, 0x9de8, 0x8dc9, 0x7c26, 0x6c07, 0x5c64, 0x4c45, 0x3ca2, 0x2c83, 0x1ce0, 0x0cc1, 0xef1f, 0xff3e, 0xcf5d, 0xdf7c, 0xaf9b, 0xbfba, 0x8fd9, 0x9ff8, 0x6e17, 0x7e36, 0x4e55, 0x5e74, 0x2e93, 0x3eb2, 0x0ed1, 0x1ef0 }; crc=0; while(len--!=0) { da=(uchar) (crc/256); /* 以8位二进制数的形式暂存 CRC 的高 8 位*/ crc<<=8; /* 左移 8 位,相当于 CRC 的低 8 位乘以 8 2 */ crc^=crc_ta[da^*ptr]; /* 高8位和当前字节相加后再查表求 CRC , 再加上以前的 CRC */ ptr++; } return(crc); } 很显然,按字节求 CRC 时,由于采用了查表法,大大提高了计算速度.但对于广泛运用的 8 位微处理器,代码空间有限,对于要求 256 个CRC 余式表(共512 字节的内存)已经显得捉襟见 肘了,但CRC 的计算速度又不可以太慢,因此再介绍下面一种按半字节求 CRC 的算法. 5 按半字节计算 CRC 同样道理,对于一个二进制序列数可以按字节表示为式(5-1),其中 ) (X Bn 为半个 字节(共4位). ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 4 1 ) 1 ( 4 1 4 X B X B X B X B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 5-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(4-2)所示: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 16 16 X G X B X G X B X G X B X G X B n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (5-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B n n n + = ? (5-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(5-3)代入式(5-2)得: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ] ) ( ) ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 16 X G X B X G X B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 4 X G B X G X B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (5-4) 因为: 4 12 12 4 4 2 )] ( 2 ) ( [ 2 ) ( ? + ? = ? X R X R X R nL nH n 4 12 16 4 2 ) ( 2 ) ( ? + ? = X R X R nL nH (5-5) 其中 ) ( 4 X RnH 是)(X Rn 的高 4 位, ) ( 12 X RnL 是)(X Rn 的低 12 位.将式(5-5)代入式(5-4) ,经 整理后得: ) ( 2 2 } ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( { 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 4 12 4 16 X G B X G X B X R X G X R X Q X G X B n n nH nL n n ? + ? ? ? + ? ? + + ? + ? = ? ? ? (5-6) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 4 4 12 X G X R X Q X G X B X B X G X R n n n nH nL ? ? ? + = ? + + ? (5-7) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数.将式(5-7)代入式(5-6),如上类推,最后得: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 ) 1 ( 4 1 4 16 X G X R X Q X Q X Q X G X B n n n n + + ? ? ? + ? + ? = ? ? 5-8) 很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(5-7)是编写按字节计算 CRC 程序的关键, 它说明计算本字节后的 CRC 码等于上一字节 CRC 码的低 12 位左移 4 位后,再加上上一字节余式 CRC 右移 4 位(也既取高 4 位)和本字节之和后所 求得的 CRC 码, 如果我们把 4 位二进制序列数的 CRC 全部计算出来, 放在一个表里, 采用查表法, 每个字节算两次(半字节算一次) ,可以在速度和内存空间取得均衡.由此不难理解下面按半字节 求CRC 码的 C 语言程序.*ptr 指向发送缓冲区的首字节,len 是要发送的总字节数,CRC 余式表是 按0x11021 多项式求出的. unsigned cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned int crc; unsigned char da; unsigned int crc_ta[16]={ /* CRC 余式表 */ 0x0000,0x1021,0x2042,0x3063,0x4084,0x50a5,0x60c6,0x70e7, 0x8108,0x9129,0xa14a,0xb16b,0xc18c,0xd1ad,0xe1ce,0xf1ef, } crc=0; while(len--!=0) { da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暂存 CRC 的高四位 */ crc<<=4; /* CRC 右移 4 位,相当于取 CRC 的低 12 位)*/ crc^=crc_ta[da^(*ptr/16)]; /* CRC 的高 4 位和本字节的前半字节相加后查表计算 CRC, 然后加上上一次 CRC 的余数 */ da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暂存 CRC 的高 4 位*/ crc<<=4; /* CRC 右移 4 位, 相当于 CRC 的低 12 位) */ crc^=crc_ta[da^(*ptr&0x0f)]; /* CRC 的高 4 位和本字节的后半字节相加后查表计算 CRC, 然后再加上上一次 CRC 的余数 */ ptr++; } return(crc); } 5 结束语 以上介绍的三种求 CRC 的程序,按位求法速度较慢,但占用最小的内存空间;按字节查表求 CRC 的方法速度较快,但占用较大的内存;按半字节查表求 CRC 的方法是前两者的均衡,即不会 占用太多的内存,同时速度又不至于太慢,比较适合 8 位小内存的单片机的应用场合.以上所给的 C 程序可以根据各微处理器编译器的特点作相应的改变,比如把 CRC 余式表放到程序存储区内等.
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更新时间：2014-04-24
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CRC 算法原理及 C 语言实现 摘要本文从理论上推导出 CRC 算法实现原理,给出三种分别适应不同计算机或微控 制器硬件环境的 C 语言程序. 读者更能根据本算法原理,用不同的语言编写出独特风格 更加实用的 CRC 计算程序. 关键词 CRC 算法 C 语言 1 引言 循环冗余码 CRC 检验技术广泛应用于测控及通信领域.CRC 计算可以靠专用的硬件来实现, 但是对于低成本的微控制器系统, 在没有硬件支持下实现 CRC 检验, 关键的问题就是如何通过软件 来完成 CRC 计算,也就是 CRC 算法的问题. 这里将提供三种算法,它们稍有不同,一种适用于程序空间十分苛刻但 CRC 计算速度要求不高 的微控制器系统,另一种适用于程序空间较大且 CRC 计算速度要求较高的计算机或微控制器系统, 最后一种是适用于程序空间不太大,且CRC 计算速度又不可以太慢的微控制器系统. 2 CRC 简介 CRC 校验的基本思想是利用线性编码理论,在发送端根据要传送的 k 位二进制码序 列,以一定的规则产生一个校验用的监督码(既CRC 码)r 位,并附在信息后边,构成 一个新的二进制码序列数共(k+r)位,最后发送出去.在接收端,则根据信息码和 CRC 码之间所遵循的规则进行检验,以确定传送中是否出错. 16 位的 CRC 码产生的规则是先将要发送的二进制序列数左移 16 位 (既乘以 16 2 ) 后, 再除以一个多项式,最后所得到的余数既是 CRC 码,如式(2-1)式所示,其中 B(X)表示n位的二进制序列数,G(X)为多项式,Q(X)为整数,R(X)是余数(既CRC 码). ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B + = ? (2-1) 求CRC码所采用模 2 加减运算法则,既是不带进位和借位的按位加减,这种加减运 算实际上就是逻辑上的异或运算, 加法和减法等价,乘法和除法运算与普通代数式的乘 除法运算是一样, 符合同样的规律. 生成CRC码的多项式如下, 其中CRC-16 和CRC-CCITT 产生 16 位的CRC码,而CRC-32 则产生的是 32 位的CRC码.本文不讨论 32 位的CRC算法, 有兴趣的朋友可以根据本文的思路自己去推导计算方法. CRC-16:(美国二进制同步系统中采用) 1 ) ( 2 15 16 + + + = X X X X G CRC-CCITT:(由欧洲 CCITT 推荐)1 ) ( 5 12 16 + + + = X X X X G CRC-32: 8 10 11 12 16 22 23 26 32 ) ( X X X X X X X X X X G + + + + + + + + = 1 1 2 4 5 7 + + + + + + X X X X X 接收方将接收到的二进制序列数(包括信息码和 CRC 码)除以多项式,如果余数为 0,则说明传输中无错误发生,否则说明传输有误,关于其原理这里不再多述.用软件 计算 CRC 码时, 接收方可以将接收到的信息码求 CRC 码,比较结果和接收到的 CRC 码是 否相同. 3 按位计算 CRC 对于一个二进制序列数可以表示为式(3-1): 0 1 1 1 2 2 2 ) ( B B B B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 3-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(3-2)所示: ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 16 16 X G B X G B X G B X G B X G X B n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (3-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 216 X G X R X Q X G B n n n + = ? (3-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(3-3)代入式(3-2)得: ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 } ) ( ) ( ) ( { ) ( 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 16 X G B X G B X G B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 16 1 1 16 1 X G B X G B X G B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (3-4) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 X G X R X Q X G B X G X R n n n n ? ? ? + = ? + ? (3-5) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数 ,将式(3-5)代入式(3-4),如上类推,最后得 到: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 2 2 1 1 16 X G X R X Q X Q X Q X Q X G X B n n n n n n + + ? ? ? + ? + ? + ? = ? ? ? ? ? (3-6) 根据 CRC 的定义,很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(3-5)是编程计算 CRC 的关键,它说明计算本位后的 CRC 码等于上一位 CRC 码乘以 2 后除 以多项式,所得的余数再加上本位值除以多项式所得的余数.由此不难理解下面求 CRC 码的 C 语 言程序.*ptr 指向发送缓冲区的首字节,len 是要发送的总字节数,0x1021 与多项式有关. unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned char i; unsigned int crc=0; while(len--!=0) { for(i=0x80; i!=0; i/=2) { if((crc&0x8000)!=0) {crc*=2; crc^=0x1021;} /* 余式 CRC 乘以 2 再求 CRC */ else crc*=2; if((*ptr&i)!=0) crc^=0x1021; /* 再加上本位的 CRC */ } ptr++; } return(crc); } 按位计算 CRC 虽然代码简单,所占用的内存比较少,但其最大的缺点就是一位一位地计算会 占用很多的处理器处理时间,尤其在高速通讯的场合,这个缺点更是不可容忍.因此下面再介绍一 种按字节查表快速计算 CRC 的方法. 4 按字节计算 CRC 不难理解,对于一个二进制序列数可以按字节表示为式(4-1),其中 ) (X Bn 为一个 字节(共8位). ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 8 1 ) 1 ( 8 1 8 X B X B X B X B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 4-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(4-2)所示: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 16 16 X G X B X G X B X G X B X G X B n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (4-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B n n n + = ? (4-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(4-3)代入式(4-2)得: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ] ) ( ) ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 16 X G X B X G X B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 8 X G B X G X B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (4-4) 因为: 8 8 8 8 8 2 )] ( 2 ) ( [ 2 ) ( ? + ? = ? X R X R X R nL nH n 8 8 16 8 2 ) ( 2 ) ( ? + ? = X R X R nL nH (4-5) 其中 ) ( 8 X RnH 是)(X Rn 的高八位, ) ( 8 X RnL 是)(X Rn 的低八位.将式(4-5)代入式(4-4) ,经 整理后得: ) ( 2 2 } ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( { 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 8 16 1 8 8 8 8 16 X G B X G X B X R X G X R X Q X G X B n n nH nL n n ? + ? ? ? + ? ? + + ? + ? = ? ? ? (4-6) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 8 8 8 X G X R X Q X G X B X B X G X R n n n nH nL ? ? ? + = ? + + ? (4-7) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数.将式(4-7)代入式(4-6),如上类推,最后得: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 ) 1 ( 8 1 8 16 X G X R X Q X Q X Q X G X B n n n n + + ? ? ? + ? + ? = ? ? 4-8) 很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(4-7)是编写按字节计算 CRC 程序的关键, 它说明计算本字节后的 CRC 码等于上一字节余式 CRC 码的低 8 位左移 8 位后,再加上上一字节 CRC 右移 8 位(也既取高 8 位)和本字节之和后所 求得的 CRC 码, 如果我们把 8 位二进制序列数的 CRC 全部计算出来, 放如一个表里, 采用查表法, 可以大大提高计算速度.由此不难理解下面按字节求 CRC 码的 C 语言程序.*ptr 指向发送缓冲区 的首字节,len 是要发送的总字节数,CRC 余式表是按 0x11021 多项式求出的. unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned int crc; unsigned char da; unsigned int crc_ta[256]={ /* CRC 余式表 */ 0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50a5, 0x60c6, 0x70e7, 0x8108, 0x9129, 0xa14a, 0xb16b, 0xc18c, 0xd1ad, 0xe1ce, 0xf1ef, 0x 1231, 0x0210, 0x3273, 0x2252, 0x52b5, 0x4294, 0x72f7, 0x62d6, 0x9339, 0x8318, 0xb37b, 0xa35a, 0xd3bd, 0xc39c, 0xf3ff, 0xe3de, 0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401, 0x64e6, 0x74c7, 0x44a4, 0x5485, 0xa56a, 0xb54b, 0x8528, 0x9509, 0xe5ee, 0xf5cf, 0xc5ac, 0xd58d, 0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76d7, 0x66f6, 0x5695, 0x46b4, 0xb75b, 0xa77a, 0x9719, 0x8738, 0xf7df, 0xe7fe, 0xd79d, 0xc7bc, 0x48c4, 0x58e5, 0x6886, 0x78a7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823, 0xc9cc, 0xd9ed, 0xe98e, 0xf9af, 0x8948, 0x9969, 0xa90a, 0xb92b, 0x5af5, 0x4ad4, 0x7ab7, 0x6a96, 0x1a71, 0x0a50, 0x3a33, 0x2a12, 0xdbfd, 0xcbdc, 0xfbbf, 0xeb9e, 0x9b79, 0x8b58, 0xbb3b, 0xab1a, 0x6ca6, 0x7c87, 0x4ce4, 0x5cc5, 0x2c22, 0x3c03, 0x0c60, 0x1c41, 0xedae, 0xfd8f, 0xcdec, 0xddcd, 0xad2a, 0xbd0b, 0x8d68, 0x9d49, 0x7e97, 0x6eb6, 0x5ed5, 0x4ef4, 0x3e13, 0x2e32, 0x1e51, 0x0e70, 0xff9f, 0xefbe, 0xdfdd, 0xcffc, 0xbf1b, 0xaf3a, 0x9f59, 0x8f78, 0x9188, 0x81a9, 0xb1ca, 0xa1eb, 0xd10c, 0xc12d, 0xf14e, 0xe16f, 0x1080, 0x00a1, 0x30c2, 0x20e3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067, 0x83b9, 0x9398, 0xa3fb, 0xb3da, 0xc33d, 0xd31c, 0xe37f, 0xf35e, 0x02b1, 0x1290, 0x22f3, 0x32d2, 0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256, 0xb5ea, 0xa5cb, 0x95a8, 0x8589, 0xf56e, 0xe54f, 0xd52c, 0xc50d, 0x34e2, 0x24c3, 0x14a0, 0x0481, 0x7466, 0x6447, 0x5424, 0x4405, 0xa7db, 0xb7fa, 0x8799, 0x97b8, 0xe75f, 0xf77e, 0xc71d, 0xd73c, 0x26d3, 0x36f2, 0x0691, 0x16b0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634, 0xd94c, 0xc96d, 0xf90e, 0xe92f, 0x99c8, 0x89e9, 0xb98a, 0xa9ab, 0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827, 0x18c0, 0x08e1, 0x3882, 0x28a3, 0xcb7d, 0xdb5c, 0xeb3f, 0xfb1e, 0x8bf9, 0x9bd8, 0xabbb, 0xbb9a, 0x4a75, 0x5a54, 0x6a37, 0x7a16, 0x0af1, 0x1ad0, 0x2ab3, 0x3a92, 0xfd2e, 0xed0f, 0xdd6c, 0xcd4d, 0xbdaa, 0xad8b, 0x9de8, 0x8dc9, 0x7c26, 0x6c07, 0x5c64, 0x4c45, 0x3ca2, 0x2c83, 0x1ce0, 0x0cc1, 0xef1f, 0xff3e, 0xcf5d, 0xdf7c, 0xaf9b, 0xbfba, 0x8fd9, 0x9ff8, 0x6e17, 0x7e36, 0x4e55, 0x5e74, 0x2e93, 0x3eb2, 0x0ed1, 0x1ef0 }; crc=0; while(len--!=0) { da=(uchar) (crc/256); /* 以8位二进制数的形式暂存 CRC 的高 8 位*/ crc<<=8; /* 左移 8 位,相当于 CRC 的低 8 位乘以 8 2 */ crc^=crc_ta[da^*ptr]; /* 高8位和当前字节相加后再查表求 CRC , 再加上以前的 CRC */ ptr++; } return(crc); } 很显然,按字节求 CRC 时,由于采用了查表法,大大提高了计算速度.但对于广泛运用的 8 位微处理器,代码空间有限,对于要求 256 个CRC 余式表(共512 字节的内存)已经显得捉襟见 肘了,但CRC 的计算速度又不可以太慢,因此再介绍下面一种按半字节求 CRC 的算法. 5 按半字节计算 CRC 同样道理,对于一个二进制序列数可以按字节表示为式(5-1),其中 ) (X Bn 为半个 字节(共4位). ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 4 1 ) 1 ( 4 1 4 X B X B X B X B X B n n n n + ? + ? ? ? + ? + ? = ? 5-1) 求此二进制序列数的 CRC 码时,先乘以 16 2 后(既左移 16 位) ,再除以多项式 G(X),所得的余数既 是所要求的 CRC 码.如式(4-2)所示: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 16 16 X G X B X G X B X G X B X G X B n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? (5-2) 可以设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 16 X G X R X Q X G X B n n n + = ? (5-3) 其中 ) (X Qn 为整数, ) (X Rn 为16 位二进制余数.将式(5-3)代入式(5-2)得: ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ] ) ( ) ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 16 X G X B X G X B X G X R X Q X G X B n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + = ? ? ? ) ( 2 2 } ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( { 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 4 X G B X G X B X G X R X Q n n n n n ? + ? ? ? + ? ? + ? + ? = ? ? (5-4) 因为: 4 12 12 4 4 2 )] ( 2 ) ( [ 2 ) ( ? + ? = ? X R X R X R nL nH n 4 12 16 4 2 ) ( 2 ) ( ? + ? = X R X R nL nH (5-5) 其中 ) ( 4 X RnH 是)(X Rn 的高 4 位, ) ( 12 X RnL 是)(X Rn 的低 12 位.将式(5-5)代入式(5-4) ,经 整理后得: ) ( 2 2 } ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( { 2 ) ( ) ( 2 ) ( 16 0 ) 1 ( 4 16 1 4 4 12 4 16 X G B X G X B X R X G X R X Q X G X B n n nH nL n n ? + ? ? ? + ? ? + + ? + ? = ? ? ? (5-6) 再设: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )] ( ) ( [ ) ( 2 ) ( 1 1 16 1 4 4 12 X G X R X Q X G X B X B X G X R n n n nH nL ? ? ? + = ? + + ? (5-7) 其中 ) ( 1 X Qn? 为整数, ) ( 1 X Rn? 为16 位二进制余数.将式(5-7)代入式(5-6),如上类推,最后得: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 ) 1 ( 4 1 4 16 X G X R X Q X Q X Q X G X B n n n n + + ? ? ? + ? + ? = ? ? 5-8) 很显然,十六位二进制数 ) ( 0 X R 既是我们要求的 CRC 码. 式(5-7)是编写按字节计算 CRC 程序的关键, 它说明计算本字节后的 CRC 码等于上一字节 CRC 码的低 12 位左移 4 位后,再加上上一字节余式 CRC 右移 4 位(也既取高 4 位)和本字节之和后所 求得的 CRC 码, 如果我们把 4 位二进制序列数的 CRC 全部计算出来, 放在一个表里, 采用查表法, 每个字节算两次(半字节算一次) ,可以在速度和内存空间取得均衡.由此不难理解下面按半字节 求CRC 码的 C 语言程序.*ptr 指向发送缓冲区的首字节,len 是要发送的总字节数,CRC 余式表是 按0x11021 多项式求出的. unsigned cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) { unsigned int crc; unsigned char da; unsigned int crc_ta[16]={ /* CRC 余式表 */ 0x0000,0x1021,0x2042,0x3063,0x4084,0x50a5,0x60c6,0x70e7, 0x8108,0x9129,0xa14a,0xb16b,0xc18c,0xd1ad,0xe1ce,0xf1ef, } crc=0; while(len--!=0) { da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暂存 CRC 的高四位 */ crc<<=4; /* CRC 右移 4 位,相当于取 CRC 的低 12 位)*/ crc^=crc_ta[da^(*ptr/16)]; /* CRC 的高 4 位和本字节的前半字节相加后查表计算 CRC, 然后加上上一次 CRC 的余数 */ da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暂存 CRC 的高 4 位*/ crc<<=4; /* CRC 右移 4 位, 相当于 CRC 的低 12 位) */ crc^=crc_ta[da^(*ptr&0x0f)]; /* CRC 的高 4 位和本字节的后半字节相加后查表计算 CRC, 然后再加上上一次 CRC 的余数 */ ptr++; } return(crc); } 5 结束语 以上介绍的三种求 CRC 的程序,按位求法速度较慢,但占用最小的内存空间;按字节查表求 CRC 的方法速度较快,但占用较大的内存;按半字节查表求 CRC 的方法是前两者的均衡,即不会 占用太多的内存,同时速度又不至于太慢,比较适合 8 位小内存的单片机的应用场合.以上所给的 C 程序可以根据各微处理器编译器的特点作相应的改变,比如把 CRC 余式表放到程序存储区内等.